導言：在日常生活中，有一些現象按照一定的規律不斷重複出現，比如每週七天，從星期一開始，到星期日結束，總是以七天為乙個迴圈不斷重複出現。我們把這種會重複出現的規律性問題稱為週期問題。
要解決這類問題，關鍵要抓住兩點：
①找出規律，找出週期。即多少個（次）又出現重複。
②用總量除以週期，看餘數，餘幾就是週期裡的第幾個，沒有餘數就是最後乙個。
例1．有一列數，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、
（1）第2009個數是多少？
（2）這列數字中，「2」會出現多少次
（3）這2009個數相加的和是多少？
解析：仔細觀察，這2009個數不是隨意排列的，每六個數重複一次，按1、4、2、8、5、7乙個迴圈依次不斷重複出現排列的。週期找到了，接著用總量除以週期，把餘數與週期對比，很容易解答問題。
（1） 2009÷6=334、、、5，即重複了334次，還余5個數，分別是1、4、2、8、5。所以第2009個數就是5
（2）（1、4、2、8、5、7）重複了334次，「2」也就出現了334次，再加上餘下的五個數中，「2」又出現了一次，所以，數字「2」總共出現了335次
（3）我們把2009個數按每一組（1、4、2、8、5、7）這樣分組，可以分成334組，還剩5個數，334組的數都相同，每組的和=1+4+2+8+5+7=27，那麼這334組的總和是27×334=9018，再加上還餘下的五個數，即為2009個數的總和了。
（1+4+2+8+5+7）×334+（1+4+2+8+5）=9018+20=9038
例2．求2×2×、、、×2（2008個2相乘）+ 3×3×、、、×3（2009個3相乘）的個位數字
解析：要想求和的個位數字，關鍵是要求出每個加數的個位數字。
（1）先觀察下2×2×、、、×2（2008個2相乘）個位數的特點，看是否有週期性，若有，則可根據週期問題的方法來解答
2 個位數字是2
2×2 個位數字是4
2×2×2 個位數字是8
2×2×2×2 個位數字是6
2×2×2×2×2 個位數字是2
可見，個位數字是按2、4、8、6不斷迴圈重複，所以週期是4，
2008÷4=502，沒餘數，個位數字就是最後乙個6。
（ 2）同理，我們也可以找出3×3×、、、×3（2009個3相乘）個位數字的排列規律。
3 個位數字是3
3×3 個位數字是9
3×3×3 個位數字是7
3×3×3×3 個位數字是1
3×3×3×3×3 個位數字是3
可見，個位數字是按3、9、7、1不斷迴圈重複出現，所以週期是4，
2009÷4=502、、、1，餘數是1，個位數字就是週期裡面的第乙個數，即3
所以，求2×2×、、、×2（2008個2相乘）+ 3×3×、、、×3（2009個3相乘）的個位數字，就是6+3的個位數字，即9。
例3．2009個學生按下列方法編號排成五列：
一二三四五
12 3 4 5
9 876
101112 13
17 16 15 14
問最後乙個學生應該在第幾列？
解析：仔細觀察，除了第乙個學生外，其餘學生都是按這樣的次序排列的：二、三、四、五、四、三、二、一、二、三、四、五、四、三、二、一、、、、、、、。
按「二、三、四、五、四、三、二、一」不斷迴圈重複，所以週期是8。
（2009-1）÷8=251，沒餘數，說明最後乙個學生排在週期裡的最後乙個數，即第一列。
注意：週期可以是從第乙個數開始不斷迴圈重複，也可以不從第乙個數開始，當不是從第乙個數開始迴圈重複時，我們一般先從總數中把不參與迴圈的數剔除掉，再除以週期，看餘數。
例4．2023年9月8日是星期二
（1）2023年9月27日是星期幾？
（2）2023年12月25日是星期幾？
（3）2023年10月1日是星期幾？
解析：推算星期幾的題目，第一：要知道週期；第二：
要學會計算天數（最重要的）。第三：推星期幾；總天數除以7，看餘數，餘幾就從當天往後推幾天。
一周七天，不斷迴圈重複，週期是7。計算天數時，遵守以下幾個規律：①乙個月之內的，尾減首就得天數②跨月的，先算整月再算零頭天數③跨年的，先算整年再算整月最後算零頭天數④有幾個常識要清楚：
一、三、五、七、八、十、臘（十二）為大月，31天；四、六、九、十一為小月，30天；2月平年28天，閏年29天；年，平年365天，閏年366天，四年一閏，一般情況下能被4整除的是閏年，下面的年份為例外：能被100整除的但不能被400整除的是平年。
（1）屬乙個月之內的。從9月8日到27日有 27-8=19天
19÷7=2（周）、、、、5（天）
從星期二往後推5天，就是星期日。
即2023年9月27日是星期日
（2）屬跨月的。
先算整月：9月8日至10月8日至11月8日至12月8日，三個月共 30+31+30=91（天）
再算零頭：12月8日至12月25日有 25-8=17天
所以，共有91+17=108（天）
108÷7=15（周）、、、3（天）
從星期二往後推三天，就是星期五。
即2023年12月25日是星期五。
（3）屬跨年的
先算整年：2009.9.8--2010.9.8--2011.9.8--2012.9.8 三年共365+365+366=1096天
再算整月:2012.9.8—2012.10.8 乙個月共 30天
最後算零頭: 2012.10.8—10.1 共8-1=7天
所以共有 1096+30-7=1119天
1119÷7=159(周)、、、、6天
從星期二往後推六天，就是星期一
即2023年10月1日是星期一
例5．伸出你的左手，從大拇指開始，按大拇指、食指、中指、無名指、小指、無名指、中指、食指、大拇指、食指、、、、、的順序依次數數字：1、2、3、、、、，問：數到2009時，你數在哪個手指上？
解析：我們先看數字規律，找出週期來。大拇指、食指、中指、無名指、小指、無名指、中指、食指、大拇指、食指、、、、、8個迴圈重複一次，週期是8
2009÷8=251、、、1
餘幾就是乙個週期中的第幾個。
所以，數到2009時，正好數到大拇指的位置上。
例6．一列數1、2、4、7、11、16、22、29、、、、。這列數左起第2023年數除以5的餘數是幾？
解析：由於是求餘數，因此找出這列數除以5的餘數規律是本題的關鍵。
1÷5 餘數是1
2÷5 餘數是2
4÷5 餘數是4
7÷5 餘數是2
11÷5 餘數是1
16÷5 餘數是1
22÷5 餘數是2
29÷5 餘數是4
從上可以看出餘數的排列規律是：按1、2、4、2、1、、、、、每隔這五個數迴圈重複出現，週期是5
2009÷5=401、、、、4 餘數是幾就是乙個週期中的第幾個數
所以，第2009個數除以5的餘數是2。
小結：解答週期性問題，需要我們具有較強的觀察能力，能從數字變化中找出它的週期性變化規律。找週期是關鍵，找週期的方法往往從出發位置開始，看經過多少步以後又回到起始位置。
對於一些較複雜的問題，我們可以借助畫示意圖或列舉部分數字等方法幫助尋找週期。
有趣的年齡問題
05年12月1日蘇科版七年級 江蘇省揚州市湯汪中學周啟東郵編 225004 與年齡有關的數學問題很多。有的非常有趣。很多同學對這樣的問題不是很理解，解年齡問題只要抓住兩個人的年齡差這個不變數就能很好地解決問題。下面就舉兩例供大家欣賞。例1 甲 乙兩人在聊天，甲對乙說 當我的歲數是你現在的歲數時，你才...
有餘數的應用 週期問題
啟睿培訓學校四年級暑期奧數專題一 週期問題 練習一 1 有249朵花，按5朵紅花，9朵黃花，13朵綠花的順序輪流排列，最後一朵是什麼顏色的花？這249朵花中，紅花 黃花 綠花各有多少朵？2 1 7 0.142857142857 小數點後面第100個數字是多少？3 有47盞彩燈，按二盞紅燈 四盞藍燈 ...
智慧型廣場週期問題
智慧型廣場 時間的週期問題 教學設計 教學目標 1 結合具體情境，探索並發現一些簡單週期現象中的規律，能根據週期的規律解決相關的實際問題。2 經歷獨立思考 合作 的過程，體會列舉 推理 計算等解決問題策略的多樣性，發展學生數學思維。3 通過數學活動，進一步積累活動經驗，增強解決問題的策略意識，並獲得...