一、選擇題（每小題6分，共36分）
1．方程的實數解的個數為（ ）
a．0 b．1 c．2 d．大於2
2．正2007邊形被它的一些不在內部相交的對角線分割成若干個區域，每個區域都是三角形，則銳角三角形的個數為（ ）
a．0 b．1 c．大於１ d．與分割的方法有關
3．已知關於引數（）的二次函式（）的最小值是關於的函式，則的最小值為（ ）
a．－2 b． c． d．以上結果都不對
4．已知為正整數，，實數滿足，若的最大值為40，則滿足條件的數對的數目為（ ）
a．1 b．3 c．5 d．7
5．定義區間，，，的長度均為，其中．已知實數，則滿足的構成的區間的長度之和為（ ）
a．1 b． c． d．2
6．過四面體的頂點作半徑為1的球，該球與四面體的外接球相切於點，且與平面相切．若，，，則四面體的外接球的半徑為（ ）
a．2 b． c．3 d．
二、填空題（每小題9分，共54分）
7．若關於的方程組有解，且所有的解都是整數，則有序數對的數目為
8．方程的所有正整數解為
9．若是邊長為1的正三角形的邊上的點，與的內切圓半徑分別為，，若，則滿足條件的點有兩個，分別設，則之間的距離為
10．方程的不同非零整數解的個數為
11．設集合，，其中是五個不同的正整數，，，，若中所有元素的和為246，則滿足條件的集合的個數為
12．在平面直角座標系中定義兩點，之間的交通距離為．若到點，的交通距離相等，其中實數滿足，，則所有滿足條件的點的軌跡的長之和為________．
三、論述題（每小題20分，共60分）
13．已知的外心為，，為的外接圓上且在內部的任意一點，以為直徑的圓分別與，交於點，分別與或其延長線交於點，求證三點共線．
14．已知數列（）滿足，，對於所有正整數，有，求使得成立的最小正整數．
15．排成一排的１０名學生生日的月份均不相同，有名教師，依次挑選這些學生參加個興趣小組，每個學生恰被一名教師挑選，且保持學生的排序不變，每名教師挑出的學生必須滿足生日的月份是逐漸增加或逐漸減少的（挑選一名或兩名學生也認為是逐漸增加或逐漸減少），每名教師盡可能多選學生．對於學生所有可能的排序，求的最小值．
參***
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1．方程的實數解的個數為（ ）。
大於答選。
設，則，因此，從而可得，因此是方程的兩個實根，判別式，無解，所以選。
2．正邊形被它的一些不在內部相交的對角線分割成若干個區域，每個區域都是三角形，則銳角三角形的個數為（ ）。
大於與分割的方法有關
答選。只有包含正邊形中心的三角形是銳角三角形，所以只有乙個，選。
3．已知關於引數的二次函式的最小值是關於的函式，則的最小值為
以上結果都不對
答選。當時，的最小值為，其中。因為對稱軸為，所以當時的最小值為，選。
4．已知為正整數，，實數滿足，若的最大值為，則滿足條件的數對的數目為
答選。 因為，所以，
於是有，因此。由於，得，其中的最大值當，時取到。又因為，所以滿足條件的數對的數目為，選。
5．定義區間的長度均為，其中。已知實數，則滿足的構成的區間的長度之和為
答選。原不等式等價於。
當或時，原不等式等價於。設，則。設的兩個根分別為，則滿足的構成的區間為，區間的長度為。
當時，同理可得滿足的構成的區間為，區間的長度為。
由韋達定理，，所以滿足條件的構成的區間的長度之和為，所以選。
6．過四面體的頂點作半徑為的球，該球與四面體的外接球相切於點，且與平面相切。若，則四面體的外接球的半徑為
答選。過作平面的垂線，垂足為，作，垂足為，，垂足為，則，且有。由於，則，，，因此為半徑為的球的直徑，從而四面體的外接球的球心在的延長線上，於是有，解得。
二、填空題（每小題9分，共54分）
7．若關於的方程組有解，且所有的解都是整數，則有序數對的數目為
答 。
因為的整數解為
，所以這八個點兩兩所連的不過原點的直線有條，過這八個點的切線有條，每條直線確定了唯一的有序數對，所以有序數對的數目為。
8．方程的所有正整數解為
答 。
因為，所以。設，類似的可得。設，則原方程化為，，即。因為，所以。又因為，所以為偶數，於是，經驗證，，所以。
或由，得，又因為為奇數，所以經驗證。
9．若是邊長為的正三角形的邊上的點，與的內切圓半徑分別為，若，則滿足條件的點有兩個，分別設為，則之間的距離為
答 。
設，由餘弦定理得。一方面，，另一方面，，解得。同理可得。從而有。當時，有最大值，且最大值為，所以。由於，所以。設兩個根分別為，則。
10．方程的不同非零整數解的個數為
答 。
利用，原方程
等價於。
方程兩端同除，整理後得。再同除，得
。即，從而有
。經驗證均是原方程的根，所以原方程共有個整數根。
11．設集合，其中是五個不同的正整數，，若中所有元素的和為，則滿足條件的集合的個數為
答 。
因為，所以。由於中有，因此中有。若，則，於是，無正整數解。若，由於，所以，於是。又因為，當時，；當時，，因此滿足條件的共有個，分別為。
12．在平面直角座標系中定義兩點之間的交通距離為。若到點的交通距離相等，其中實數滿足，則所有滿足條件的點的軌跡的長之和為
答 。
由條件得。
當時，無解；
當時，無解；
當時，無解；
當時，，線段長為。
當時，，線段長為。
當時，線段長為。
當時，無解。
當時，無解。
當時，無解。
綜上所述，點的軌跡構成的線段的長之和為。
三、論述題（每小題20分，共60分）
13．已知的外心為，，為的外接圓上且在內部的任意一點，以為直徑的圓分別與交於點，分別與或其延長線交於點，求證三點共線。
證明連，與交於點，由於，因此是等腰三角形，所以,，於是可得，從而有在的中垂線上。由於，在的中垂線上，於是有，即三點共線。
14．已知數列滿足，對於所有正整數，有，求使得成立的最小正整數。
解法一設，的特徵方程為，特徵根為，結合，得。由二項式定理得。
當為奇數時，；
當為偶數時，。
於是，即，所以滿足條件的最小正整數為。
解法二下面都是在模意義下的,則,即,因此數列在模意義下具有等差數列的特點。又因為，所以。於是有，因此滿足條件的最小正整數為。
15．排成一排的名學生生日的月份均不相同，有名教師，依次挑選這些學生參加個興趣小組，每個學生恰被一名教師挑選，且保持學生的排序不變，每名教師挑出的學生必須滿足生日的月份是逐漸增加或逐漸減少的（挑選一名或兩名學生也認為是逐漸增加或逐漸減少的），每名教師盡可能多選學生，對於學生所有可能的排序，求的最小值。
解的最小值為。
若，不妨假設這名學生生日的月份分別為，當學生按生日排序為時，存在一名教師至少要挑選前四名學生中的兩名，由於這兩名學生生日的月份是逐漸減少的，且後六名學生生日的月份均大於前四名學生生日的月份，因此這名教師不可能再挑選後六名學生；在餘下的不超過兩名教師中，一定存在一名教師至少要挑選第五名至第七名學生中的兩名，同理，這名教師不可能再挑選後三名學生；餘下的不超過一名教師也不可能挑選後三名學生，矛盾。
下面先證明：對於互不相同的有序實數列，當時，一定存在三個數滿足或。
設最大數和最小數分別為，不妨假設。若，則滿足；，因為，所以要麼在的前面，要麼在的後面至少有兩個數，不妨假設在的後面有兩個數，從而與中一定有乙個成立。
引用上面的結論，當時，第一名教師至少可以挑選三名學生；若餘下的學生大於等於名，則第二名教師也至少可以挑選三名學生；這時剩下的學生的數目不超過名，可以被兩名教師全部挑選，因此，的最小值為。
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