1集合的概念和運算（4學時）
【教學目的】
了解、掌握集合的基本概念及例子
【教學要求】
掌握集合的基本概念及例子；掌握集合五種運算和集合相等證明；
【教學重點】
掌握集合五種運算和集合相等證明；
【教學難點】
如何正確的證明集合之間包含和相等關係
【教學方法】
講練結合教學法、提問式與啟發式相結合教學法。
【教學手段】
傳統板書與多**課件輔助教學相結合。
【課型】新授課
教學過程
集合是一切數學的基礎，每一門數學的討論都離不開集合，為此，我們必須掌握集合的基本定義及運算規律，掌握集合的證明方法，這對於學習離散數學將有極大的幫助。除此以外，在離散數學中，序列、整除、矩陣也將是十分重要的基礎知識。下面就從6個知識點來加以闡述。
1.1 集合與元素
集合是任意客體(物件)的聚集。客體稱為這個集合的「成員」或「元素」，元素a要麼屬於集合a，要麼不屬於集合a,記為：
a此時，要充分的認識「任意客體」和「聚集」的含義。
1.2 集合與集合的關係
(1) b包含a中（或a包含b）,記為ba
（2）集合a與集合b相等，記為a=b.
此時，兩個集合各自包含的物件一一對應相等（或者說完全相等），該定義稱為集合的外延性定理。
，此時，也稱集合b不是集合a的子集。
（4）集合a與集合b不相等，記為a≠b。
(5) 集合b真包含在集合a中或集合a真包含集合b,記為b。
此時，也稱集合b是集合a的真子集。
（6）集合b不被a所真包含，
在集合中，常常涉及到集合之間的包含與集合之間相等的證明。證明時，常依據上述定義，採用離散數學中特有的按定義證明方法來加以證明。由於離散數學中的很多定義，都是由兩部分構成，即「如……，則……」，我們把定義中的前半部分叫「已知」，後半部分叫「結論」，所以，所謂按定義證明方法就是首先敘述出你所要證明問題的定義，利用定義中的「已知」條件，加上題目中的其他的已知條件，推出定義中的「結論」。
1.3 特殊的集合
(1) 空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為￠。空集是絕對唯一的，且是任何集合的子集。
證明乙個集合是空集，或證明集合的唯一性，常採用反證方法，即假設該集合不是空集，或不唯一，導致與已知條件的矛盾或導致唯一。
（2） 全集：在乙個具體的問題中，所研究的集合都是某個固定集合的子集，則稱這個固定集合為全集，記為e或u。全集僅是相對唯一的。
（3） 冪集：任一集合a的一切子集作為元素所構成的稱謂a的冪集，記為p（a），
顯然|a||p（a）|，由此可知，集合中不存在最大的集合。
1.4 集合的運算與定律
1. 集合的運算
集合的基本運算有並，交，差—，補~，對陳差，其定義如下：
2. 運算的定律
1.5 有窮集合的計數
解決有窮集合的計數問題有兩種方法：文氏圖法和包含排斥原理。
設s是有窮集，p1,p2,…,pm是m條性質，s中的任何元素x對於對於性質pi(i=1,2,…,m)具有或者不具有，兩種情況必居其一。
令表示s中不具有性質pi的元素構成的集合，則包含排斥原理可描述為：
1.6 無限集合
1． 可數無限集合
自然數集合n=是乙個可數（可列）無限集合，凡是與自然數集合等勢的集合就是可數無限集合。如整數集合、奇數集合、偶數集合、素數集合有理數集合等。
2.不可數集合
開區間（0，1）稱為不可數集合，凡與（0，1）等勢的集合都是不可數集合，如閉區間[0，1]，實數集合、無理數集合、複數集合等。
3.有限集合和無限集合的重要差別
（1）兩個有限集合等勢當且僅當它們有相同個數的元素；
（2）有限集合不和其任何真子集等勢；
（3）無限集合可以和其真子集等勢；
（4）如a，b是兩個有限集合，且|a|=|b|，，則a=b。
1.7 序列
1.序列
乙個序列就是按某種順序排列的一張表。
2.增序列
設s是乙個序列，如對任意的n，有：snsn+1 ,則序列s稱為增序列；如對任意的n,有sn+1sn，則序列s稱為減序列。
3.子串行
對於n=m,m+1,…,令是乙個序列，且令n1,n2,n3,…是乙個增序列，對於所有的值在中的k值，滿足nk 4.序列的運算
如是乙個序列，則
式子稱為和符號，而式子稱為積符號，i稱為下標，m稱為下界，n稱為上界。
1.8 整除
1. 數的定義與表示
如果n和m是整數，且n>0，則有m=qn+r,其中q,r是整數，且0。q稱為商，r稱為餘數。
乙個大於1的正整數p被稱為素數，如果僅有p自身和數字1能整除p.
2. 最大公因子
如果a,b和k都是正整數，且k|a,k|b,則稱k是a和b的公因子。如果d是最大的這種k,則d被稱為最大公因子，記為
d=gcd(a,b)
如果a,b是任何正整數，且gcd(a,b)=1，則我們稱互質的。
3．最小公倍數
如果a,b和k都是正整數，且a|k,b|k,則稱k是a和b的公倍數。如果c是最小的這種k,則c被稱為最小公倍數，記為
c=lcm(a,b)
1.10 總結
通過本章的學習，應達到下面的基本要求：
（1） 能正確地表示乙個集合，會畫文氏圖；
（2） 能判定元素是否屬於給定的集合；
（3） 能利用安定以證明法證明兩個集合之間的包含、相等、和真包含的關係；
（4） 能熟練地作集合之間的並、交、差、補和對稱差運算，掌握集合運算的定律；
（5） 能熟練地計算p（a）；
（6） 能求解與有窮集合計數相關的實際問題；
（7） 會求序列與子串行，並能進行序列的運算；
（8） 能熟練地將乙個數分解成素數的積，並能求兩個數的最大公因子和最小公倍數；
（9） 能熟練地進行矩陣的各類運算。
第2章命題邏輯
命題邏輯(4學時)
【教學目的】
介紹命題邏輯的基本概念。掌握利用命題邏輯表示自然語言，描述概念、判斷和推理。建立初步的語言形式化方法。
【教學要求】
1．識記
命題表示方法、真值判斷、命題公式的遞迴定義。
2．領會
聯結詞真值確定、翻譯、命題公式的等價性和蘊涵性證明、任給公式化為析取正規化、任給公式化為主析取正規化、任給公式化為合取正規化、任給公式化為主合取正規化。
3．簡單應用
命題邏輯推理規則
【教學重點】
掌握數理邏輯中命題的翻譯及命題公式的定義；利用真值表技術和公式轉換方式求公式的主析取正規化和主合取正規化；利用規則、基本等價和蘊涵公式、三種不同的推理方法完成命題邏輯推理；
【教學難點】
如何正確地掌握對語言的翻譯，如何利用推理方法正確的完成命題推理
【教學方法】
講練結合教學法、提問式與啟發式相結合教學法。
【教學手段】
傳統板書與多**課件輔助教學相結合。
【課型】新授課
教學過程
課題匯入
數理邏輯是用數學方法來研究推理的形式結構和推理規律的數學學科，它與數學的其他分支、計算機學科、人工智慧、語言學等學科均有十分密切的聯絡，並且益顯示出它的重要作用和更加廣泛的應用前景。要很好地使用計算機，就必須學習邏輯。數理邏輯分五大部分。
在離散數學中僅介紹命題邏輯和謂詞邏輯。命題邏輯是謂詞邏輯的基礎，只有掌握了命題邏輯，才能學好謂詞邏輯。對於命題邏輯，下面從六個知識點來加以闡述。
1.1 命題符號化及聯絡結詞
1 命題
有確切真值的陳述句稱為命題。
所謂確切真值是指在具體的環境，具體的時間，具體的物件，具體的位置等情況下能唯一確定真值的。命題分為兩種：
(1) 簡單命題：不能分解為更為簡單的句子的命題。
(2) 復合命題：能夠分解為更為簡單的命題。
2 命題聯結詞
數學推理與證明
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