圓錐曲線的綜合問題
一、選擇題
1．已知橢圓＋＝1的焦點是f1、f2，如果橢圓上一點p滿足pf1⊥pf2，則下面結論正確的是( )
a．p點有兩個b．p點有四個
c．p點不一定存在 d．p點一定不存在
解析：設橢圓的基本量為a，b，c，則a＝5，b＝4，c＝3.以f1f2為直徑構造圓，可知圓的半徑r＝c＝3<4＝b，即圓與橢圓不可能有交點，所以橢圓上一定不存在點p滿足pf1⊥pf2.
故選d.
答案：d
2．在拋物線c：y＝2x2上有一點p，若它到點a(1，3)的距離與它到拋物線c的焦點的距離之和最小，則點p的座標是( )
a．(－2，1) b．(1，2)
c．(2，1) d．(－1，2)
解析：由題知點a在拋物線內部，根據拋物線定義，問題等價於求拋物線上一點p，使得該點到點a與到拋物線的準線的距離之和最小，顯然點p是直線x＝1與拋物線的交點，故所求p點的座標是(1，2)．
答案：b
3．對於拋物線y2＝4x上任意一點q，點p(a，0)滿足|pq|≥|a|，則a的取值範圍是( )
a．(－∞，0) b．(－∞，2]
c．[0，2] d．(0，2)
解析：設點q的座標為(，y0)，由|pq|≥|a|，得y＋(－a)2≥a2，整理得y (y＋16－8a)≥0，
∵y≥0，∴y＋16－8a≥0，即a≤2＋恆成立．
而2＋的最小值為2，所以a≤2.選b.
答案：b
4．已知p是雙曲線－＝1右支上的一點，m，n分別是圓(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的點，則|pm|－|pn|的最大值為( )
a．6 b．7
c．8 d．9
解析：由題知雙曲線的兩個焦點分別是f1(－5，0)，f2(5，0)，則這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點p與m，f1三點共線以及p，n，f2三點共線時所求的值最大，此時|pm|－|pn|＝(|pf1|＋2)－(|pf2|－1)＝9.
答案：d
5．點p到圖形c上每乙個點的距離的最小值稱為點p到圖形c的距離，那麼平面內到定圓的距離與到定點a的距離相等的點的軌跡不可能是( )
a．圓 b．橢圓
c．雙曲線的一支 d．直線
解析：如圖1，令定點a為定圓的圓心，動點m為定圓半徑ap的中點，故|am|＝|mp|，此時m的軌跡為乙個圓，圓心為a，半徑為am，故a可能．
如圖2，以f1為定圓的圓心，f1p為其半徑，在f1p上截|mp|＝|ma|，∵|pf1|＝r，∴|mf1|＋|pm|＝|mf1|＋|ma|＝r>|f1a|，由橢圓的定義可知，m的軌跡是以f1、a為焦點的橢圓，故b可能．
如圖3，以f1為定圓的圓心，f1p為其半徑，延長f1p到點m，使得|mp|＝|ma|，則有|mf1|－|pm|＝r，∴|mf1|－|ma|＝r<|fa|，由雙曲線的定義可知，m的軌跡是以f1、a為焦點的雙曲線的右支，故c可能．
如圖4，定點a在定圓f上，則滿足題意的點m的軌跡是以f為端點的一條射線，故d不可能．
答案：d
二、填空題
6．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為e＝2，過雙曲線上一點m作直線ma，mb交雙曲線於a，b兩點，且斜率分別為k1，k2，若直線ab過原點o，則k1·k2的值為________．
解析：設點m(x0，y0)，a(x1，y1)，則b(－x1，－y1)，k1＝，k2＝，即k1·k2＝.
又－＝1，－＝1，所以－＝0，即＝，所以k1·k2＝.又離心率為e＝2，所以k1·k2＝＝e2－1＝3.
故填3.
答案：3
7．已知橢圓c：＋y2＝1的兩焦點為f1、f2，點p(x0，y0)滿足＋y≤1，則|pf1|＋|pf2|的取值範圍為________．
解析：當p在原點處時，|pf1|＋|pf2|取得最小值2；當p在橢圓上時，|pf1|＋|pf2|取得最大值2，故|pf1|＋|pf2|的取值範圍為[2，2]．
答案：[2，2]
8．已知拋物線y2＝2px(p≠0)及定點a(a，b)，b(－a，0)，ab≠0，b2≠2pa，m是拋物線上的點．設直線am、bm與拋物線的另乙個交點分別為m1、m2，當m變動時，直線m1m2恆過乙個定點，此定點座標為________．
解析：設m(，y0)，m1(，y1)，m2(，y2)由點a，m，m1共線可知＝，得y1＝，
同理由點b，m，m2共線得y2＝.
設(x，y)是直線m1m2上的點，則＝，
即y1y2＝y(y1＋y2)－2px，
又y1＝，y2＝，
則(2px－by)y＋2pb(a－x)y0＋2pa(by－2pa)＝0.當x＝a，y＝時上式恆成立，即定點為(a，)．
答案：(a，)
三、解答題
9．已知平面內的動點p到定點f(1，0)和定直線x＝2的距離之比為常數.
(1)求動點p的軌跡c的方程；
(2)設直線l：y＝kx＋m與軌跡c交於m，n兩點，直線fm與fn的傾斜角分別為α，β，且α＋β＝π.證明：直線l過定點，並求出該定點的座標．
解析：(1)設p(x，y)，則＝，化簡得x2＋2y2＝2，即＋y2＝1.
(2)證明：由消去y，得
(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.
設m(x1，y1)，n(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，且
kfm＝，kfn＝.
由已知α＋β＝π，可得kfm＋kfn＝0，
即＋＝0.
化簡，得2kx1x2＋(m－k)(x1＋x2)－2m＝0，
所以2k·－－2m＝0，整理，得m＝－2k，
所以直線l的方程為y＝k(x－2)，因此直線l過定點，該定點的座標為(2，0)．
10．已知橢圓c：＋＝1(a>b>0)與直線x＋y－1＝0相交於a，b兩點．
(1)當橢圓的半焦距c＝1，且a2、b2、c2成等差數列時，求橢圓的方程；
(2)在(1)的條件下，求弦ab的長；
(3)當橢圓的離心率e滿足≤e≤，且以線段ab為直徑的圓經過座標原點o時，求橢圓長軸長的取值範圍．
解析：(1)由已知得2b2＝a2＋c2＝b2＋2c2，
又∵c＝1，∴b2＝2，a2＝3，
∴橢圓的方程為＋＝1.
(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得
5x2－6x－3＝0，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝－.
∴|ab|＝|x1－x2|＝·＝.
(3)由得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，
由δ＝4a2b2(a2＋b2－1)>0，得a2＋b2>1.
此時x1＋x2＝，x1·x2＝.
∵以線段ab為直徑的圓經過座標原點o，
∴·＝0，∴x1·x2＋y1·y2＝0，
∴2x1·x2－(x1＋x2)＋1＝0，
即a2＋b2－2a2b2＝0，故b2＝，
由e2＝＝，得b2＝a2－a2e2，
∴2a2＝1＋.
由≤e≤得≤a2≤，∴≤2a≤.
11．已知直線l：x＋y＋8＝0，圓o：x2＋y2＝36(o是座標原點)，橢圓c：＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝，直線l被圓o截得的弦長與橢圓的長軸長相等．
(1)求橢圓c的方程；
(2)過點(3，0)作直線l，與橢圓c交於a，b兩點，設＝＋(o是座標原點)，是否存在這樣的直線l，使四邊形oasb的對角線長相等？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
解析：(1)∵圓心o到直線l：x＋y＋8＝0的距離為d＝＝4，
直線l被圓o截得的弦長2a＝2＝4，
∴a＝2，
又＝，a2－b2＝c2，解得b＝1，c＝，
∴橢圓c的方程為：＋y2＝1.
(2)∵＝＋，∴四邊形oasb是平行四邊形．
假設存在這樣的直線l，使四邊形oasb的對角線長相等，則四邊形oasb為矩形，因此有⊥，
設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2＋y1y2＝0.
直線l的斜率顯然存在，設過點(3，0)的直線l的方程為：y＝k(x－3)，
由，得(1＋4k2)x2－24k2x＋36k2－4＝0，
由δ＝(－24k2)2－4(1＋4k2)(36k2－4)>0，可得－5k2＋1>0，即k2<.
x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－3)(x2－3)
＝(1＋k2)x1x2－3k2(x1＋x2)＋9k2
＝(1＋k2)－3k2＋9k2，
由x1x2＋y1y2＝0得：k2＝，∴k＝±，滿足δ>0.即直線l的方程為y＝±(x－3)．
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