集合元素的「三性」及其應用
集合的特徵是學好集合的基礎，是解集合題的關鍵，它主要指集合元素的確定性、互異性和無序性，這些性質為我們提供了解題的依據，特別是元素的互異性，稍有不慎，就易出錯．
例1 已知集合ａ＝｛，＋，＋2｝，ｂ＝｛，，｝，其中，ａ＝ｂ，求的值．
例2 設ａ＝｛ｘ∣＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂr｝，求ａ中所有元素之和．
例3 已知集合 ， b＝，且ab=,求值．
分析：集合易錯題分析
1．進行集合的交、並、補運算時，不要忘了全集和空集的特殊情況，不要忘記了借助數軸和文氏圖進行求解.
2．你會用補集的思想解決有關問題嗎？
3．求不等式（方程）的解集，或求定義域（值域）時，你按要求寫成集合的形式了嗎？
1、忽略的存在：
例題1、已知a=，b=，若ab，求實數m的取值範圍．
2、分不清四種集合：、、、的區別.
例題2、已知函式，，那麼集合中元素的個數為
（a） 1b）0c）1或0d） 1或2
3、搞不清楚是否能取得邊界值：
例題3、a=，b=且ba，求m的範圍.
例4、已知集合，，那麼等於 （ ）
a.（0,2）,(1,1) b. d.
集合與方程
例1、已知，求實數p的取值範圍。
例2、已知集合，如果,求實數a的取值範圍。
例3、已知集合，若，求實數a的值。
集合學習中的錯誤種種
數學是一門嚴謹的學科，在集合學習中，由於對概念理解不清或考慮問題不全面等，稍不留心就會不知不覺地產生錯誤，本文歸納集合學習中的種種錯誤，認期幫助同學們避免此類錯誤的再次發生．
一、混淆集合中元素的形成
例集合，，則
忽視空集的特殊性
例已知，，若，則的值為
沒有弄清全集的含義
例設全集，，求的值
沒有弄清事物的本質
例若，，試問是否相等．
等價轉化思想
例已知m =，n =，求使得=成立的實數a的取值範圍。
分類討論思想
解答集合問題時常常遇到這樣的情況：解題過程中，解到某一步時，不能再以統一的方法、統一的形式繼續進行，因為這時被研究的數學物件已包含了多種可能的情形，必須選定乙個標準，根據這個標準劃分成幾個能用不同形式去解決的小問題，將這些小問題一一加以解決，從而使問題得到解決，這就是分類討論的思想方法．
例設集合a = ，b = ，若，求實數a的取值範圍。
開放思想
開放型問題是相對於中學課本中有明確條件和結論的封閉型問題而言的．這類問題的知識覆蓋面大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構思精巧，具有相當的深度和難度．集合中的開放型問題問題大多是結論不定性開放型問題．
例 設集合a = ，集合b =，集合c =，是否存在k，bn，使得？若存在，請求出k，b的值；若不存在，請說明理由．
歷年高考題精選：
例1 (2023年天津理工高考) 設集合a=，b=則a∩b =
例2 (2023年重慶理工高考)集合a=，b=，則a∩b
例3(2023年湖南理工高考)集合a=，b =，若「a = 1」是「a∩b =φ」的充分條件，則b 的取值範圍可以是( )
例4(2023年春季高考) 設全集u=，集合a=，b=，那麼ca∩cb =（ ）。
例5(2023年全國高考)設全集u=，集合a=，集合b=，則ca∪cb = ( )
例6(2023年天津文史高考) 集合a=的真子集個數為( )
例7(2023年全國高考)集合a=，b=則有( )
a．a = b b．ab c． ab d．a∩b =φ
例8(2023年全國高考)，已知全集u=n，集合a=,集合b=，則( )
a．u= a∪b b．u= ca∪b c．a∪cb d．ca∪cb
交、並集思想在實際中的應用
新教材高中數學（必修1）在課程標準中提到：①理解兩個集合的並集與交集的含義，會求兩個簡單集合的並集與交集；②能使用venn圖表達集合的關係及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。交、並集是集合的運算。
準確把握交、並集思想；恰當運用交、並集的運算方法是培養我們從日常生活中的問題抽取到用數學符號表示的抽象、歸納的思維能力，也是培養我們從感性到理性的認識能力。本文就交、並集思想在實際中的應用作些**，供同行參考。
準確理解交、並集的定義從而直接解題
例．設，函式，求使（1）的實數a的取值範圍。（2）使的實數a的值.
利用交、並集的思想解決實際生活中的問題
例．高一（1）班學生期終考試成績表明：（1）36人數學成績不低於80分；（2）20人物理成績不低於80分；（3）15人的人數學、物理成績不低於80分.問：
有多少人這兩科成績至少有一科不低於80分？
交、並集性質的拓寬應用
例．某班共有學生50名，其中參加數學課外小組的學生有22名，參加物理課外小組的學生有18名，他們中同時參加數學、物理課外小組的學生有13人.問至少參加數學與物理兩個課外小組中乙個的學生有多少名？數學和物理兩個課外小組都不參加的學生有多少名？
複雜問題轉化到交、並集的領域，實現思維的昇華
例6．設u=r，集合，，，若a，b，c中至少乙個不是空集，求實數a的取值範圍。
例 1已知集合a=,b=，若a∩b≠φ，求實數a的取值範圍。
例2、若下列三個方程：x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有乙個方程有實根，試求實數a的取值範圍。
例3、若x、y、z均為實數，且，求證：a、b、c中至少有乙個大於0.
集合的概念與運算經典例題及習題
第1講集合的概念和運算 例1 已知a r，b r，若 則a2 014 b2 014 答案 1 訓練1 集合中含有的元素個數為 a 4 b 6 c 8 d 12 答案 b 例2 已知集合a b b a 若ab，則實數a的取值範圍是 c，其中c 答案 4 例3 設u r，集合a b 若 ua b 則m的...
2019高考數學必備經典例題1集合建議邏輯
答案例1選a 例2填 注 方程組解的集合應是點集.例3解 若,則,此時,與已知矛盾,捨去.若,則 當時,b中有兩個元素均為,與集合中元素的互異性矛盾,應捨去.當時,符合題意.綜上所述,點評 本題考查集合元素基本特徵 確定性 互異性 無序性，切入點是分類討論思想，由於集合中元素用字母表示，檢驗必不可少...
數列經典例題
2010 廣東 4 已知數列為等比數列，是它的前n項和,若，且與2的等差中項為，則 答案 c 2010 江西 5 等比數列中，4，函式，則 答案 c 2010 湖南 15 若數列滿足 對任意的，只有有限個正整數使得成立，記這樣的的個數為，則得到乙個新數列 例如，若數列是，則數列是 已知對任意的，則 ...