型別一：橢圓的基本量
1．指出橢圓的焦點座標、準線方程和離心率.
解析：橢圓的方程為，所以，，.
∴焦點座標為，
準線方程為和，
離心率.
總結昇華：要將橢圓的方程化為標準形式，才能確定基本幾何量.
舉一反三：
【變式1】橢圓上一點p到橢圓乙個焦點的距離為3，則p到另乙個焦點的距離
【答案】7
【變式2】橢圓的兩個焦點分別為，過的直線交橢圓於a、b兩點，則的周長
【答案】20
【變式3】已知橢圓的方程為，焦點在x軸上，則m的取值範圍是（ ）。
a．－4≤m≤4且m≠0 b．－4＜m＜4且m≠0 c．m＞4或m＜－4 d．0＜m＜4
【答案】b
【變式4】已知橢圓mx2+3y2－6m=0的乙個焦點為（0，2），求m的值。
【答案】m＝5。
型別二：橢圓的標準方程
2. 求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）兩個焦點的座標分別是（－4，0）、（4，0），橢圓上一點p到兩焦點距離的和是10；
（2）兩個焦點的座標是（0，－2）、（0，2），並且橢圓經過點。
思路點撥：用待定係數法。
解析：（1）∵橢圓的焦點在x軸上，∴設它的標準方程為。
∵2a=10，2c=8，∴a=5，c=4
∴b2=a2－c2=52－42=9
∴所求橢圓的標準方程為；
（2）∵橢圓的焦點在y軸上，∴設它的標準方程為
由橢圓的定義知，，
∴又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6
∴所求橢圓的標準方程為。
總結昇華：求橢圓的標準方程就是求a2及b2（a＞b＞0），並且判斷焦點所在的座標軸。當焦點在x軸上時，橢圓的標準方程為；當焦點在y軸上時，橢圓的標準方程為。
舉一反三：
【變式1】兩焦點的座標分別為，且橢圓經過點。
【答案】。
【變式2】已知一橢圓的對稱軸為座標軸且與橢圓有相同的焦點，並且經過點（3，－2），求此橢圓的方程。
【答案】。
3．求經過點p（－3，0）、q（0，2）的橢圓的標準方程。
解析：設橢圓的標準方程為mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）。
∵橢圓經過點p（－3，0）和q（0，2），
∴ ∴∴所求橢圓方程為。
總結昇華：在求橢圓的標準方程時必須先判斷焦點的位置，然後再設出方程。在無法判斷焦點的位置時可設mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），而不規定m與n的大小關係，從而避免討論焦點的位置。
舉一反三：
【變式】已知橢圓經過點p（2，0）和點，求橢圓的標準方程。
【答案】
4．求與橢圓4x2+9y2=36有相同的焦距，且離心率為的橢圓的標準方程。
解析：把方程4x2+9y2=36寫成，則其焦距為
由題知，則，
∴a=5，b2=a2－c2=52－5=20
∴所求橢圓的方程為或。
總結昇華：本例中由於沒指明焦點所在的座標軸，所以橢圓的方程應有兩種形式。
【變式1】在橢圓的標準方程中，，則橢圓的標準方程是（ ）
a． b． c． d．以上都不對
【答案】d
【變式2】橢圓過（3，0）點，離心率，求橢圓的標準方程。
【答案】或。
【變式3】長軸長等於20，離心率等於，求橢圓的標準方程。
【答案】或。
【變式4】已知橢圓的中心在原點，經過點p（3，0）且a=3b，求橢圓的標準方程。
【答案】或。
型別三：求橢圓的離心率或離心率的取值範圍
5．已知橢圓一條準線為，相應焦點為，長軸的乙個頂點為原點，求其離心率的取值。
解析：橢圓長軸頂點到相應焦點的距離為，準線到相應焦點的距離為.
由已知得，解得，.
舉一反三：
【變式1】橢圓的兩個焦點把兩條準線間距離三等分，則橢圓離心率為( )
a. b. c. d. 不確定
【答案】b
【變式2】橢圓的乙個頂點與兩焦點構成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（ ）
【答案】d
【變式3】橢圓上一點到兩焦點的距離分別為，焦距為，若成等差數列，則橢圓的離心率為
【答案】
【變式4】以橢圓兩焦點為直徑的圓交橢圓於四個不同點，順次鏈結這四個點和兩個焦點，恰好圍成乙個正六邊形，則這個橢圓的離心率等於
【答案】
6．已知橢圓，f1，f2是兩個焦點，若橢圓上存在一點p，使，求其離心率的取值範圍。
解析：△f1pf2中，已知，|f1f2|=2c，|pf1|+|pf2|=2a，
由餘弦定理：4c2=|pf1|2+|pf2|2-2|pf1||pf2|cos120°①
又|pf1|+|pf2|=2a ②
聯立① ②得4c2=4a2-|pf1||pf2|，∴
總結昇華：求離心率或離心率的範圍，通常構造關於，，的齊次式，從而構造出關於的方程或不等式.
舉一反三：
【變式1】 已知橢圓與x軸的正半軸交於a，0是原點，若橢圓上存在一點m，使ma⊥mo，求橢圓離心率的取值範圍。
【答案】設m點的座標為，a(a，0)
由ma⊥mo得
化簡得所以【變式2】已知橢圓，以，，為係數的關於的方程無實根，求其離心率的取值範圍。
【答案】由已知，，所以，
即，不等式兩邊同除可得，
解不等式得或.
由橢圓的離心率，
所以所求橢圓離心率.
型別四：橢圓定義的應用
7．若乙個動點p（x，y）到兩個定點a（－1，0）、a＇（1，0）的距離的和為定值m（m>0），試求p點的軌跡方程。
解析：∵|pa|+|pa＇|=m，|aa＇|=2，|pa|+|pa＇|≥|aa＇|，
（1）當0 （2）當m=2時，p點的軌跡就是線段aa＇ ∴其方程為y=0（－1≤x≤1）； （3）當m＞2時，由橢圓的定義知，點p的軌跡是以a、a＇為焦點的橢圓 ∵2c=2，2a=m， ∴點p的軌跡方程為。 總結昇華：平面內一動點到兩定點的距離和等於常數時，動點的軌跡不一定是橢圓。。當動點到兩點的距離和小於兩定點之間的距離時，動點的軌跡不存在；當動點到兩點的距離和等於兩定點之間的距離時，動點的軌跡是線段；當動點到兩定點的距離和（常數）大於兩定點之間的距離時，動點的軌跡是橢圓。 舉一反三： 【變式1】下列說法中正確的是（ ） a．平面內與兩個定點的距離和等於常數的點的軌跡叫做橢圓 b．平面內與兩個定點的距離和等於常數的點的軌跡是一條線段 c．平面內與兩個定點的距離和等於常數的點的軌跡是乙個橢圓或者是一條直線 d．平面內與兩個定點的距離和等於常數的點的軌跡存在，則軌跡是乙個橢圓或者是一條線段 【答案】d 【變式2】已知a（0，－1）、b（0，1）兩點，△abc的周長為6，則△abc的頂點c的軌跡方程是（ ） a． b． c． d． 【答案】b 【變式3】已知圓，圓a內一定點b（2，0），圓p過b點且與圓a內切，求圓心p的軌跡方程。 【答案】設|pb|=r， ∵圓p與圓a內切，圓a的半徑為6， ∴兩圓的圓心距|pa|=6－r，即|pa|+|pb|=6（大於|ab|）。 ∴點p的軌跡是以a、b兩點為焦點的橢圓。 ∴2a=6，2c=|ab|=4。 ∴a=3，c=2，b2=a2－c2=32－22=5。 ∴點p的軌跡方程為。 型別五：座標法的應用 9．△abc的兩個頂點座標分別是b（0，6）和c（0，－6），另兩邊ab、ac的斜率的乘積是，求頂點a的軌跡方程。 解析：設頂點a的座標為（x，y） 由題意得， ∴頂點a的軌跡方程為。 總結昇華：求出曲線方程後，要注意檢查一下方程的曲線上的點是否都符合題意，如有不符合題意的點，應在所得方程後註明限制條件。 舉一反三： 【變式1】已知a、b兩點的座標分別為（0，－5）和（0，5），直線ma與mb的斜率之積為，則m的軌跡方程是（ ） a． b． c． d． 【答案】d 【變式2】△abc兩頂點的座標分別是b（6，0）和c（－6，0），另兩邊ab、ac的斜率的積是，則頂點的軌跡方程是（ ） a． b． c． d． 【答案】d 【變式3】已知a、b兩點的座標分別是（－1，0）、（1，0），直線am、bm相交於點m，且它們的斜率之積為m（m＜0），求點m的軌跡方程並判斷軌跡形狀。 【答案】設點m的座標為（x，y），因為點a的座標是（－1，0）， 所以直線am的斜率為， 同理，直線bm的斜率為， 由已知有。 化簡得點m的軌跡方程為： 當m=－1時，m的軌跡方程為，m的軌跡是單位圓去掉兩個點（±1，0）。 當－1＜m＜0時，m的軌跡為焦點在x軸上的橢圓去掉兩個點（±1，0）。 當m＜－1時，m的軌跡為焦點在y軸上的橢圓去掉兩個點（±1，0）。 型別一 等比數列的通項公式 例1 等比數列中，求.思路點撥 由等比數列的通項公式，通過已知條件可列出關於和的二元方程組，解出和，可得 或注意到下標，可以利用性質可求出 再求.總結昇華 列方程 組 求解是等比數列的基本方法，同時利用性質可以減少計算量 解題過程中具體求解時，要設法降次消元，常常整體代入... 經典例題透析 第五章相交線與平行線 1.未正確理解垂線的定義 1 下列判斷錯誤的是 a.一條線段有無數條垂線 b.過線段ab中點有且只有一條直線與線段ab垂直 c.兩直線相交所成的四個角中，若有乙個角為90 則這兩條直線互相垂直 d.若兩條直線相交，則它們互相垂直.錯解 a或b或c.解析 本題應在正... 第九章不等式與不等式組 1.在運用不等式性質3時，未改變符號方向 1 利用不等式的性質解不等式 錯解 根據不等式性質1得，即.根據不等式的性質3，在兩邊同除以 5，得.2.利用不等式解決實際問題時，忽視問題的實際意義，取值時出現錯誤 2 某小店每天需水1m，而自來水廠每天只供一次水，故需要做乙個水箱...等比數列經典例題透析
人教版七年級數學下冊經典例題透析
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