經典例題透析
第五章相交線與平行線
1.未正確理解垂線的定義
1．下列判斷錯誤的是（ ）.
a.一條線段有無數條垂線；
b.過線段ab中點有且只有一條直線與線段ab垂直；
c.兩直線相交所成的四個角中，若有乙個角為90°，則這兩條直線互相垂直；
d.若兩條直線相交，則它們互相垂直.
錯解：a或b或c.
解析：本題應在正確理解垂直的有關概念下解題，知道垂直是兩直線相交時有一角為90°的特殊情況，反之，若兩直線相交則不一定垂直.
正解：d.
2.未正確理解垂線段、點到直線的距離
2．下列判斷正確的是（ ）.
a.從直線外一點到已知直線的垂線段叫做這點到已知直線的距離；
b.過直線外一點畫已知直線的垂線，垂線的長度就是這點到已知直線的距離；
c.畫出已知直線外一點到已知直線的距離；
d.連線直線外一點與直線上各點的所有線段中垂線段最短.
錯解：a或b或c.
解析：本題錯誤原因是不能正確理解垂線段的概念及垂線段的意義.
a.這種說法是錯誤的，從直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫做點到直線的距離. 僅僅有垂線段，沒有指明這條垂線段的長度是錯誤的.
b.這種說法是錯誤的，因為垂線是直線，直線沒有長短，它可以無限延伸，所以說「垂線的長度」就是錯誤的；
c.這種說法是錯誤的，「畫」是畫圖形，畫圖不能得到數量，只有「量」才能得到數量，這句話應該說成：畫出已知直線外一點到已知直線的垂線段，量出垂線段的長度.
正解：d.
3.未準確辨認同位角、內錯角、同旁內角
3．如圖所示，圖中共有內錯角（ ）.
a.2組； b.3組； c.4組； d.5組.
錯解：a.
解析：圖中的內錯角有∠agf與∠gfd，∠bgf與∠gfc，∠hgf與∠gfc三組.其中 ∠hgf與∠gfc易漏掉。
正解：b.
4.對平行線的概念、平行公理理解有誤
4．下列說法：①過兩點有且只有一條直線；②兩條直線不平行必相交；③過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；④過一點有且只有一條直線與已知直線平行. 其中正確的有（ ）.
a.1個； b.2個； c.3個； d.4個.
錯解：c或d.
解析：平行線的定義必須強調「在同一平面內」的前提條件，所以②是錯誤的，平行公理中的「過一點」必須強調「過直線外一點」，所以④是錯誤的，①③是正確的.
正解：b.
5.不能準確識別截線與被截直線，從而誤判直線平行
5．如圖所示，下列推理中正確的有（ ）.
①因為∠1＝∠4，所以bc∥ad； ②因為∠2＝∠3，所以ab∥cd；
③因為∠bcd＋∠adc＝180°，所以ad∥bc；④因為∠1＋∠2＋∠c＝180°，所以bc∥ad.
a.1個； b.2個； c.3個； d.4個.
錯解：d.
解析：解與平行線有關的問題時，對以下基本圖形要熟悉：「」「」「」，只有③推理正確.
正解：a.
6.混淆平行線的判定和性質、忽略平行線的性質成立的前提條件
6．如圖所示，直線，∠1＝70°，求∠2的度數.
錯解：由於，根據內錯角相等，兩直線平行，可得∠1＝∠2，又因為∠1＝70°，所以∠2＝70°.
解析：造成這種錯誤的原因主要是對平行線的判定和性質混淆. 在運用的時候要注意：
（1）判定是不知道直線平行，是根據某些條件來判定兩條直線是否平行；（2）性質是知道兩直線平行，是根據兩直線平行得到其他關係.
正解：因為（已知），
所以∠1＝∠2（兩直線平行，內錯角相等），
又因為∠1＝70°（已知），
所以∠2＝70°.
7.對命題這一概念的理解不透徹
7．判斷下列語句是否是命題. 如果是，請寫出它的題設和結論.
（1）內錯角相等；（2）對頂角相等；（3）畫乙個60°的角.
錯解：（1）（2）不是命題，（3）是命題.
解析：對於命題的概念理解不透徹，往往認為只有存在因果關係的關聯詞才是命題，正確認識命題這一概念，關鍵要注意兩點，其一必須是乙個語句，是一句話；其二必須存在判斷關係，即「是」或「不是」.
正解：（1）是命題. 這個命題的題設是：兩條直線被第三條直線所截；結論是：內錯角相等. 這個命題是一
個錯誤的命題，即假命題.
（2）是命題. 這個命題的題設是：兩個角是對頂角；結論是：這兩個角相等. 這個命題是乙個正確的
命題，即真命題.
（3）不是命題，它不是判斷一件事情的語句.
8.忽視平移的距離的概念
8．「如圖所示，△a′b′c′是△abc平移得到的，在這個平移中，平移的距離是線段aa′」這句話對嗎？
錯解：正確.
解析：平移的距離是指兩個圖形中對應點連線的長度，而不是線段，所以在這個平移過程中，平移的距離應該是線段aa′的長度.
正解：錯誤.
第六章平面直角座標系
1.不能確定點所在的象限
1．點a的座標滿足，試確定點a所在的象限.
錯解：因為，所以，，所以點a在第一象限.
解析：本題出錯的原因在於漏掉了當，時，的情況，此時點a在第三象限.
正解：因為，所以為同號，即，或，. 當，時，點a在第一象限；當，時，點a在第三象限.
2.點到x軸、y軸的距離易混淆
2．求點a（-3，-4）到座標軸的距離.
錯解：點a（-3，-4）到軸的距離為3，到軸的距離為4.
解析：錯誤的原因是誤以為點a（）到軸的距離等於，到軸的距離等於，而事實上，點a（）到軸的距離等於，到軸的距離等於，不熟練時，可結合圖形進行分析.
正解：點a（-3，-4）到軸的距離為4，到軸的距離為3.
第七章三角形
1.畫三角形的高易出錯
1．如圖所示，鈍角△abc中，∠b是鈍角，試作出bc邊上的高ae.
錯解：如圖所示：
解析：對三角形高的定義理解不牢，理解不清楚造成的. 未抓住垂直這一特徵，只是憑主觀想象，認為鈍角三角形的高和銳角三角形的高一樣，也在三角形的內部.
ae和bc不垂直在圖中是很明顯的.
正解：如圖所示：
2.不能正確使用三邊關係定理
2．有四條線段，長度分別為4cm，8cm，10cm，12cm，選其中三條組成三角形，試問可以組成多少個三角形？
錯解：有4種情況可以組成三角形：①12cm，10cm，8cm；②12cm，10cm，4cm；③10cm，8cm，4cm；④12cm，8cm，4cm.
解析：這四條線段並不是所有的組合都能構成三角形，還必須滿足三邊關係定理. 其中，12cm，8cm，4cm，不能構成三角形，因為12－8＝4.
正解：有3種情況可以組成三角形：①12cm，10cm，8cm；②12cm，10cm，4cm；③10cm，8cm，4cm.
3.不能區分三角形的外角和內角
3．乙個三角形的三個外角中，最多有幾個角是銳角？
錯解：乙個三角形的三個外角中最多可以有三個銳角.
解析：對三角形的內角與外角的概念未能真正理解並加以區分，從而錯誤地認為三角形的外角也與其內角一樣，最多可有三個銳角.
正解：因為三角形的每乙個外角都與相鄰的內角互補. 因為當相鄰的內角是鈍角時，這個外角才是銳角. 又因為三角形中最多只有乙個內角是鈍角，所以三角形的三個外角中最多只有乙個銳角.
4.不能正確地運用三角形的外角性質
4．如圖所示，在△abc中，下列說法正確的是（ ）.
a.∠adb＞∠ade；
b.∠adb＞∠1＋∠2＋∠3；
c.∠adb＞∠1＋∠2；
d.以上都對.
錯解：a.
錯解解析：結論的正確要有理論依據，不能單從直觀判斷. 對「三角形外角等於和它不相鄰的兩個內角的和」記不準確，造成了錯誤.
正解：c.
正解解析：∵∠adb是△adc的乙個外角，∴∠adb＝∠1＋∠2＋∠3，∴∠adb＞∠1＋∠2.
5.對多邊形的內角和公式掌握不牢
5．乙個多邊形的內角和為1440°，求其邊數.
錯解：1440°÷180°＝8.
答：邊數為8.
解析：誤用多邊形內角和公式.
正解：，解得.
答：邊數為10.
第八章二元一次方程組
1.不能正確理解二元一次方程組的定義
1．已知方程組正確的說法是（ ）.
a.只有①③是二元一次方程組；
b.只有③④是二元一次方程組；
c.只有①④是二元一次方程組；
d.只有②不是二元一次方程組.
錯解：a或c.
解析：方程組①④是二元一次方程組，符合定義，方程組③是二元一次方程組，符合定義，而且是最簡單、最特殊的二元一次方程組.
正解：d.
2.將方程相加減時弄錯符號
2．用加減法解方程組 .
錯解：①－②得，所以，把代入①，得，解得.所以原方程組的解是 .
錯解解析：在加減消元時弄錯了符號而導致錯誤.
正解：①－②得，所以，把代入①，得，解得.所以原方程組的解是 .
3.將方程變形時忽略常數項
3．利用加減法解方程組 .
錯解：①×2＋②得，解得. 把代入①得，解得. 所以原方程組的解是 .
錯解解析：在①×2＋②這一過程中只把①左邊各項都分別與2相乘了，而忽略了等號右邊的常數項4.
正解：①×2＋②得，解得. 把代入①得，解得. 所以原方程組的解是 .
4.不能正確找出實際問題中的等量關係
4．兩個車間，按計畫每月工生產微型電機680臺，由於改進技術，上個月第一車間完成計畫的120％，第二車間完成計畫的115％，結果兩個車間一共生產微型電機798臺，則上個月兩個車間各生產微型電機多少臺？若設兩車間上個月各生產微型電機臺和臺，則列方程組為（ ）.
a. ；
b. ；
c. .
d. .
錯解：b或d.
解析：錯誤的原因是等量關係錯誤，本題中的等量關係為：（1）第一車間實際生產台數＋第二車間實際生產台數＝798臺；（2）第一車間計畫生產台數＋第二車間計畫生產台數＝680臺.
正解：c.
第九章不等式與不等式組
1.在運用不等式性質3時，未改變符號方向
1．利用不等式的性質解不等式：.
錯解：根據不等式性質1得，即. 根據不等式的性質3，在兩邊同除以-5，得.
解析：在此解答過程中，由於對性質3的內容沒記牢，沒有將「＜」變為「＞」，從而得出錯誤結果.
正解：根據不等式的性質1，在不等式的兩邊同時減去5，得，根據不等式的性質3，在不等式的兩邊同時除以-5，得.
2.利用不等式解決實際問題時，忽視問題的實際意義，取值時出現錯誤
2．某小店每天需水1m，而自來水廠每天只供一次水，故需要做乙個水箱來存水. 要求水箱是長方體，底面積為0.81㎡，那麼高至少為多少公尺時才夠用？（精確到0.1m）
錯解：設高為m時才夠用，根據題意得. 由. 要精確到0.1，所以.
答：高至少為1.2m時才夠用.
解析：最後取解時，沒有考慮到問題的實際意義，水箱存水量不得小於1m，如果水箱的高為時正好夠，少一點就不夠了. 故最後取近似值一定要大於，即取近似值時只能入而不能舍.
正解：設高為m時才夠用，根據題意得. 由於，而要精確到0.1，所以.
答：水箱的高至少為1.3m時才夠用.
3.解不等式組時，弄不清「公共部分」的含義
3．解不等式組 .
錯解：由①得，由②得，所以不等式組的解集為.
錯解解析：此題錯在對「公共部分」的理解上，誤認為兩個數之間的部分為「公共部分」（即解集）. 實質上，和沒有「公共部分」，也就是說此不等式組無解.
注意：「公共部分」就是在數軸上兩線重疊的部分.
正解：由①得，由②得，所以不等式組無解.
第十章資料的收集、整理與描述
1.全面調查與抽樣調查選擇不當
1．調查一批藥物的藥效持續時間，用哪種調查方式？
錯解：全面調查.
解析：此調查若用全面調查具有破壞性，不宜採用全面調查.
正解：抽樣調查.
2.未正確理解定義
2．2023年4月11日《文匯報》報道：據不完全統計，至今上海自願報名去西部地區工作的專業技術人員和管理人員已達3600多人，其中碩士、博士佔4％，本科生佔79％，大專生佔13％. 根據上述資料繪製扇形統計圖表示這些人員的學歷分布情況.
錯解：如下圖所示：
解析：漏掉其他人員4％，扇形表示的百分比之和不等於1，正確的扇形統計圖表示的百分比之和為1.
正解：如下圖所示：
3.對頻數與頻率的意義的理解錯誤
3．某班組織25名團員為災區捐款，其中捐款數額前三名的是10元5人，5元10人，2元5人，其餘每人捐1元，那麼捐10元的學生出現的頻率是
錯解：捐10元的5人，.
解析：該題的錯誤是因為將5＋10＋5作為總次數，實際上應是25為總次數，這其實是對頻率概念錯誤理解的結果.
正解：0.2.
4.列頻數分布表時的步驟、方法錯誤
4．26名學生的身高分別為（身高：cm）：
160； 162； 160； 162； 160； 159； 159； 169； 172； 160；
161； 150； 166； 165； 159； 154； 155； 158； 174； 161；
170； 156； 167； 168； 163； 162.
現要列出頻率分布表，請你確定起點和分點資料.
錯解：起點為150.5，分三組，150.5～159.5，159.5～169.5，169.5～172.5.
解析：本題產生錯誤的原因是起點應比最小值略小，組距不相等，前兩個過大.
正解：起點為149.5，分五組：
149.5～154.5，154.
5～159.5，159.5～164.
5，164.5～169.5，169.
5～174.5.
七年級數學下冊經典例題透析易錯題
第九章不等式與不等式組 1.在運用不等式性質3時，未改變符號方向 1 利用不等式的性質解不等式 錯解 根據不等式性質1得，即.根據不等式的性質3，在兩邊同除以 5，得.2.利用不等式解決實際問題時，忽視問題的實際意義，取值時出現錯誤 2 某小店每天需水1m，而自來水廠每天只供一次水，故需要做乙個水箱...
人教版七年級數學下冊知識要點
第五章相交線與平行線 一 知識網路結構 二 知識要點 1 在同一平面內，兩條直線的位置關係有兩種 相交和平行 垂直是相交的一種特殊情況。2 在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線 如果兩條直線只有乙個公共點，稱這兩條直線相交 如果兩條直線沒有公共點，稱這兩條直線平行。3 兩條直線相交所構成的四個角中...
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七年級2011 2012學年度第二學期期末考試模擬題 一 選擇題 本大題10個小題，每小題3分，共30分。1 下列方程中變形正確的是 4x 8 0變形為x 2 0x 6 5 2x變形為3x 1 3變形為4x 154x 2變形為x 2 abcd 2 在同一平面內兩條直線的位置關係有 a 兩種 平行或相...