北方民族大學課程設計
課程名稱: 最優化理論課程設計
院(部)名稱: 資訊與計算科學學院
組長姓名學號趙清源
同組人員姓名楊陽朱偉南
王進成呂明華
指導教師姓名
設計時間: 2016.04.28
【摘要】
隨著公司的日益壯大，現如今要在多個地區建立門市部，然而針對不同的投資與利潤，公司的選擇是多樣化的，而本文解決了如何獲取最大利益的問題，因而結合了理論與實際，引入了數學教學中的數學建模的方法，建立0-1單目標規劃模型，對本模型的變數進行約束，並用lingo軟體進行求解。
【關鍵字】數學建模 0-1規劃 lingo
company location problem of rationalization
【 abstract 】 with the growing of the company, now to establish salesroom in multiple areas and for different investment and profits, however, the choice of company is diversified, and this article solve the problem of how to obtain the maximum benefit, which combines theory with practice, introduces the methods of mathematical modeling of maths teaching, 0 and 1 single goal programming model is established, with constraints on variables of this model, to find the solution by using lingo software.
【 key words 】 mathematical modeling 0-1 programming lingo
0-1規劃一種特殊的規劃 。這種規劃的決策變數僅取值0或1。本文的選址問題便是個約束條件互斥問題，引出的0-1規劃的實際含義即是0代表不選擇，而1代表選擇。
數學建模是將生活中很多實際問題運用數理邏輯方法和數學語言建構出科學或工程模型。lingo為一種解決線性規劃和非線性規劃的數學軟體
【問題背景】
隨著時代的發展，各種各樣的企業蓬勃發展，如何選址成為了公司的重要問題，而選址是一項長期性投資,相對於其他因素來說,它具有長期性和固定性.當外部環境發生變化時,其他經營因素都可以隨之進行相應調整,以適應外部環境的變化,而選址一經確定就難以變動,選擇得好,企業可以長期受益.選址事關企業成敗，企業位置的的選擇將顯著影響實際運營的效益、成本以及日後企業規模的擴充與發展。
相對於製造型企業而言，服務性企業的選址更為重要，其位置的好壞在很大程度上直接決定了企業的營業收入，最終決定了企業的存亡。選址是制定經營目標和經營戰略的重要依據。商業企業在制定經營目標和經營戰略時，需要考慮很多因素，其中包括對選址進行研究，從而為企業制定經營目標提供依據，並在此基礎上按照顧客構成及需求特點，確定**戰略。
【提出實驗目的】
本文是分析公司的投資額與利潤之間的關係，求解出最佳位址來使公司達到利潤最大化
某公司在城市的東、西、南三區建立門市部。擬議中有 7 個位置（地點）ai（i=1，2，…，7）可供選擇。公司規定：
在東區，由 a1，a2，a3 三個點中至多選兩個；
在南區，由 a4，a5 兩個點中至少選乙個；
在西區，由 a6，a7 兩個點中至少選乙個。
如果選用 ai 點，裝置投資估計為 bi 元，每年可獲利潤估計為 ci 元，但投資總額不能超過 b 元。問公司選擇哪幾個點可使年總利潤最大？
【模型假設】
設：ai為備選位址，（i=1，2,3,4,5,6,7,）；
bi為備選位址的裝置投資估計（i=1,2,3,4,5,6,7,）；
b表示投資總額；
ci表示每年可獲利潤；
【模型的建立和求解】
問題一：
在公司建立門市部的過程中如何使得公司的利潤最大。
由我們的問題題目中可以知道，每建立乙個門市部都會有一定的利潤額，但在實際問題中很少會將所有的門市部進行建立，而是根據實際情況選取一定數量的門市部進行建立，就像本問題中的」在東區，由 a1，a2，a3 三個點中至多選兩個」等等。我們將位址ai作為決策變數，然而有的地點是不需要選取的，因而我們用0-1規劃對其進行定量分析，所以我們直接建立所有的利潤總額即可，將每個門市部的利潤額為決策變數的權重係數，可以建立相應的模型，即目標函式為：
max=11*a1+8*a2+12*a3+10*a4+5*a5+8*a6+12*a7
問題二：
考慮該問題中所有對選址的限制條件。
首先，決策變數的選擇與否利用0-1變數來進行定量：
0 (未選擇位址
aii=1,2,3,4,5,6,7
1(已選擇位址)
其次，考慮到各地區的選址數量的限制，例如「在南區，由 a4，a5 兩個點中至少選乙個」，則可以得出以下約束條件：
a1+a2+a3<=2;
a4+a5>=1;
a6+a7>=1;
最後，考慮到該公司對投資總額的最大限制，可以得出相應的約束條件：
3*a1+2*a2+6*a3+2*a4+4*a5+8*a6+5*a7<=15;
根據以上約束條件及目標函式進行如下程式設計：
max=11*a1+8*a2+12*a3+10*a4+5*a5+8*a6+12*a7;
a1+a2+a3<=2;
a4+a5>=1;
a6+a7>=1;
3*a1+2*a2+6*a3+2*a4+4*a5+8*a6+5*a7<=15;
@bin(a1);@bin(a2);@bin(a3);@bin(a4);@bin(a5);@bin(a6);
@bin(a7);
並用lingo軟體進行求解得出以下資料：
由以上資料可知，a1=0，a2=1，a3=1，a4=1，a5=0，a6=0，a7=1故而我們選取的位址為a2，a3，a4，a7。最大利潤為42萬元。
【模型檢驗與分析】
在投資額確定的情況下，不考慮其他的支出費用，該題利用0-1規劃建立的數學模型所得出的結論還是具有一定的合理性的，在該題的約束條件下，得出我們應該選取a2，a3，a4，a7為我們的選取位址。但是該模型尚有一些不足，我們只是考慮了投資額與利潤之間的關係得出該結論，而實際生活中影響選址卻有很多因素，在非理想化的條件下，我們需要根據某些相關因素對該模型進行改進。
【結束語】
數學建模的建立和0-1線性規劃之間有著十分密切的關係，數學模型的建立有助於培養學生使用數學知識解決實際問題的能力，通過數學建模的建立，不但能讓學生把在書本學習到的知識使用在實際應用的過程中，而且能更好的激發現當代大學生數學學習的積極性與主動性，數學建模的競賽在當下也受到了越來越多人群的關注，包括學生、教師和一些教育主管單位的領導。本次研究重點討論的內容是0-1線性規劃知識在數學模型建立中的使用方法，進而給出了選址問題的案例。在數學建模的過程中使用0-1線性規劃思想，需要考慮到兩方面的問題，一方面是借助現有的基本線性模型思路、方式聯合實際討論問題的要點建設數學模型，另一方面是在模型的建立過程中，要同時將模型能否被求解納入考慮範圍。
所以在數學建模建立的過程中，需要對基本模型有一定的認知與了解，提公升自我的基本模型思想、方法以及對實際問題建設數學模型的能力和使用有關數學軟體解決數學模型的能力。在計算機和軟體技術飛速發展的當代，加強對數學建模方法與軟體實現之間聯絡的研究，具有一定的現實意義。
【參考文獻】
（1）數學模型，姜啟源編，高等教育出版社，2023年第三版；
（2）數學建模，沈繼紅、施久玉、高振濱、張曉威編，哈爾濱工程大學出版社，(1996)；
（3）數學模型基礎，王樹禾編著，中國科學技術大學出版社，(1996).
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