函式：四種基本函式型別
一、一元二次函式
考點1：二次函式的三種表示形式
例1：【頂點式的運用】
若二次函式的圖象經過點(0,1)，對稱軸為x＝2，最小值是－1，則它的解析式為（）
【解析】此題可選用一般式解決，但計算複雜．對稱軸為x＝2，最小值是－1，可知其頂點為(2，－1)，從而可選用頂點式求解．設二次函式的解析式為y＝a(x－2)2－1，將(0,1)代入得1＝4a－1，所以a＝.
所以所求的函式解析式為y＝ (x－2)2－1.
例2：【頂點式的運用】
已知y＝f(x)是二次函式，且f(－＋x)＝f(－－x)對x∈r恆成立，f(－)＝49，方程f(x)＝0的兩實根之差等於7.
(1)求此二次函式的解析式．
【解析】 (1)由x∈r，f(－＋x)＝f(－－x)知，f(x)對稱軸為x＝－.
又f(－)＝49，則二次函式f(x)的圖象的頂點座標為(－，49)，
故設f(x)＝a(x＋)2＋49(a≠0)．
方程f(x)＝a(x＋)2＋49＝0的兩根為x1，x2，
則|x1－x2|＝2＝7，所以a＝－4，
所以f(x)＝－4(x＋)2＋49，
即f(x)＝－4x2－12x＋40.
考點2：二次函式在閉區間上的最值
一元二次函式在閉區間上的最值分為三種情況，軸定區間定，軸動區間定，軸定區間動。常需要分類討論。如果軸動區間定，則討論對稱軸何時在區間之內，何時在區間之外，利用開口方向和單調性解答即可。
如果軸定區間動，劃出三種影象，然後按照單調性解答即可。
（一）軸動區間定，這時討論對稱軸何時在區間之內，何時在區間之外；
例1.【軸動區間定】
函式f(x)＝4x2－mx＋5在[－2，＋∞)上是增函式，則f(1)的取值範圍是( )
a．f(1)≥25 b．f(1)＝25
c．f(1)≤25 d．f(1)>25
【解析】f(x)＝4(x－)2－＋5在[－2，＋∞)上遞增，所以≤－2，所以m≤－16，f(1)＝9－m≥9－(－16)＝25，故選a.
例2.【軸動區間定】
已知二次函式y＝f(x)在x＝處取得最小值－ (t≠0)，且f(1)＝0.
(1)求y＝f(x)的表示式；
(2)若函式y＝f(x)在區間[－1，]上的最小值為－5，求此時t的值和對應的x的值
（1）易求f(x)＝(x－)2－ (t≠0)，
（2）因為f(x)＝(x－)2－ (t≠0)，
當<－1，即t<－4時，f(x)min＝f(－1)＝(－1－)2－＝－5，所以t＝－；
當－1≤≤，即－4≤t≤－1時，f(x)min＝f()＝－＝－5，所以t＝±2 (捨去)；
當》，即t>－1時，f(x)min＝f()＝(－)2－＝－5，所以t＝－ (捨去)．
綜上得，所求的t＝－，對應的x＝－1.
（二）軸定區間動，這是要討論區間中的引數。
例1.【軸定區間動】
已知函式f(x)＝x2－2x＋2的定義域和值域均為[1，b]，則b＝( )
a．3 b．2或3
c．2 d．1或2
【解析】f(x)＝(x－1)2＋1，f(x)在[1，b]上遞增，
所以f(b)＝b2－2b＋2＝b，
所以b＝2或b＝1(捨去)，故選c.
例2.已知函式y＝4x2－4ax＋a2－2a在區間[0,2]上有最小值3，求a的值．
【解析】因為y＝4x2－4ax＋a2－2a＝4(x－)2－2a，其對稱軸為x＝.
①當≤0，即a≤0時，函式f(x)在[0,2]上為增函式，
此時ymin＝f(0)＝a2－2a，
依題意得a2－2a＝3，解得a＝－1，a＝3.
又因為a≤0，所以a＝－1.
②當0<<2，即0依題意得a＝－(0,4)，即此時無解．
③當≥2，即a≥4時，函式y＝f(x)在[0,2]上為減函式，此時ymin＝f(2)＝a2－10a＋16，
依題意a2－10a＋13＝0，解得a＝5＋2，a＝5－2.
又因為a≥4，所以a＝5＋2.
綜上可得a＝－1或a＝5＋2.
例3：已知y＝f(x)是二次函式，且f(－＋x)＝f(－－x)對x∈r恆成立，f(－)＝49，方程f(x)＝0的兩實根之差等於7.
(1)求此二次函式的解析式．
(2)若f(x)在區間[t，t＋1](t∈r)上是單調函式，求t的取值範圍．
上面已經求出（1）f(x)＝－4x2－12x＋40.只做第二問
(2)由(1)f(x)＝－4(x＋)2＋49，則
1°當t≥－時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞減，
所以f(x)max＝f(t)＝－4t2－12t＋40.
2°當t＋1≤－，即t≤－時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞增，
所以f(x)max＝f(t＋1)＝－4t2－20t＋24.
3°當t<－f(x)max＝49.
所以f(x)max＝.
考點三：二次方程根的分布：
二次函式零點的分布，關鍵在於作出二次函式的草圖，由此列出不等式組，要注意二次函式的對稱軸與δ與方程根的關係．
例1.【二次方程根的分布】
已知f(x)＝－3x2＋(6－a)ax＋b.若方程f(x)＝0有一根小於1，另大於1，當b>－6一根且b為常數時，求實數a的取值範圍．
解析：因為－3<0，由圖象知，只需f(1)>0，
所以－3＋(6－a)a＋b>0
a2－6a＋3－b<0
3－即a的取值範圍為(3－，3＋)．
例2：若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的兩根一根在0和1之間，一根在1和2之間，k的取值範圍是( )
解析：（1/2,2/3）
二、冪函式
考點1：冪函式的定義：
冪函式的表示式只要乙個f(x)＝xα，所以求冪函式的表示式只需要乙個條件即可。
例1：【冪函式的定義】
1.給出下列函式：①y＝；②y＝3x－2；③y＝x4＋x2；④y＝.其中是冪函式的有( )
a．1個b．2個
c．3個 d．4個
【解析】根據冪函式的定義進行判斷．在所給函式中，只有y＝＝x－3和y＝＝x符合冪函式的定義，是冪函式，其餘兩個都不是冪函式，故選b.
例2.【冪函式的定義】
若冪函式f(x)的圖象經過點(3，)，則其定義域是( )
a． b．
c． d．r
【解析】設f(x)＝xα，它過點(3，)，則＝3α，所以α＝－2，故f(x)＝x－2，其定義域為，故選c.
例3.【冪函式的定義】
當x∈(0，＋∞)時，冪函式y＝(m2－m－1)x－5m－3為增函式，則實數m的值為（ ）.
【解析】依題意： ，
所以m＝－1.
考點2：冪函式的性質（影象、單調性、奇偶性）
冪函式a大於0時影象經過（0,0）和（1,1），在第一象限單調遞增；a<0時，影象不過（0.0），經過（1,1），在第一象限單調遞減。
由於冪函式的表示式非常嚴格，所以常利用影象來解題。畫冪函式圖象可從單調性、定值點及凸凹性等方面畫出第一象限的圖象，再利用奇偶性完成全部．
例1.【冪函式的影象】
函式y＝xa，y＝xb，y＝xc的圖象如圖所示，則實數a，b，c的大小關係是( )
a．cc．b【解析】由圖象特點可知a>1,0例2.【冪函式的影象】
若點a(，2)在冪函式f(x)的圖象上，點b(－2，)在冪函式g(x)的圖象上，定義h(x)＝.
(1)試求函式h(x)的最大值以及單調區間；
(2)若方程h(x)－k＝0在r上有四解，求k的取值範圍．
【解析】 (1)設f(x)＝xα，因為點a(，2)在f(x)的圖象上，所以()α＝2，
所以α＝2，即f(x)＝x2.
又設g(x)＝xβ，點b(－2，)在g(x)的圖象上，
所以(－2)β＝，所以β＝－2，即g(x)＝x－2，
在同一座標系下畫出函式f(x)和g(x)的圖象，如圖：
則有h(x)＝，
根據圖象可知函式h(x)的最大值為1.
單調增區間為(－∞，－1)和(0,1)；單調減區間為[－1,0]和[1，＋∞)．
(2)h(x)－k＝0有四解，即y＝h(x)的圖象與平行於x軸的直線y＝k有四個交點，
由圖象可知，0例3.【冪函式的單調性】
已知函式f(x)＝x＋k－k2(k∈z)．
(1)若f(x)為偶函式，且在(0，＋∞)上是增函式，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上是減函式，求k的取值集合．
【解析】 (1)因為f(x)在(0，＋∞)上是增函式，
則＋k－k2>0，解得－1因為k∈z，所以k＝0,1,2.
由f(x)是偶函式知，k＝1，所以f(x)＝x2.
(2)若f(x)在(0，＋∞)上是減函式，
則＋k－k2<0，解得k<－1或k>3.
又k∈z，所以k的取值集合為．
三、指數與指數函式
考點1：指數函式的性質（影象、單調性、奇偶性）
（1）畫指數函式y＝ax的圖象，應抓住三個關鍵點(1，a)，(0,1)，(－1，)，由此掌握指數函式圖象的位置與底數大小的關係．
（2）復合函式的值域可採用換元法，結合中間變數的範圍求函式的值域；復合函式y＝f(x)的單調性要根據y＝au，u＝f(x)兩函式在相應區間上的單調性確定，遵循「同增異減」的規律．
10305函式及其基本性質 答案
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