有限單元法學習報告
在對力學問題分析求解過程中，方法可以概括為兩種方法，一種為解析法，對具體問題具體分析，通過一定的推導用具體的表示式獲得解答，由於實際工程中結構物的複雜性，此方法在處理工程問題是十分困難的；另一種是數值法，有限元法是其中一種方法，其數學邏輯嚴謹，物理概念清晰，又採用矩陣形式表達基本公式，便於計算機程式設計，因此在工程問題中獲得廣泛的應用。
有限元法基本原理是，將複雜的連續體劃分為簡單的單元體；將無限自由度問題化為有限自由度問題，因為單元體個數是有限的；將偏微分方程求解問題化為有限個代數方程組的求解問題。通常以位移為基本未知量，通過虛功原理和最小勢能原理來求解。
基本思想是先化整為零，即離散化整體結構，把整體結構看作是由若干個通過結點相連的單元體組成的整體；再積零為整，通過結點的平衡來建立代數方程組，最後計算出結果。
我將採用最簡單的三結點三角形為基本單元體，解決彈性力學中的平面問題為例，解釋有限單元法的基本原理、演示數值計算過程和一般性應用結論。
一、離散化
解決平面問題時，主要單元型別包括三角形單元（三結點、六結點）和四邊形單元（四結點矩形、四結點四邊形、八結點四邊形）等。選用不同的單元會有不同的精度，劃分的單元數越多，精度越高，但計算量也會越大。因此在邊界曲折，應力集中處單元的尺寸要小些，但最大與最小單元的尺寸倍數不宜過大。
在集中力作用點及分布力突變的點宜選為結點，不同厚度，不同材料不能劃分在同一單元中。三角形單元以內角接近60°為最好。充分利用對稱性與反對稱性。
2、單元分析
將乙個單元上的所有未知量用結點位移表示，並將分布在單元上的外力等效到結點上。
1、位移函式選取：
根據有限元法的基本思路，將連續體離散為有限的單元集合後，此時單元體滿足連續性、均勻性、各向同性、完全線彈性假設。單元與單元之間通過結點連線並傳遞力，位移法（應用最廣）以結點位移δi=(ui vi)t為基本未知量，以離散位移場代替連續位移場。單元體內的位移變化可以用位移函式（位移模式）來表示，因為有限元分析所得結果是近似結果，為了保證計算精度和收斂性，x位移函式應盡可能反應物體中的真實位移，即滿足完備性和連續性的要求：
位移模式必須能反映單元的剛體位移。
位移模式必須能反映單元的常量應變。
位移模式應盡可能反應位移的連續性。
設三角形單元三個結點編號為i、j、m。平面三角形單元位移函式選取為
u=α1+α2x+α3y
v=α4+α5x+α6y
可以寫成的形式，反映了單元的剛體平動，反映了單元的剛體轉動，滿足完備性和連續性的要求。
採用插值法由單元結點位移列陣δe=t計算α1、α2、α3、α4、α5、α6.，求出位移d=[u（x，y), v（x，y）]。6個未知量,6個代數方程,得de=nδe
de==t
式中ni=(ai+bix+ciy)/2a，ai=bi= -ci=（i、j、m輪換）a為三角形面積，為避免a<0，i、j、m按逆時針排列。n為形函式矩陣，形函式ni的性質有：
ni（xi，yi）=1 ni（xj，yj）=0 ni（xm，ym）=0
ni（x，y）+nj（x，y）+nm（x，y）=1可推出三個形函式中，兩個是獨立的，反映了剛體平移。
令z=ni，在直接座標系中畫出ni、nj、nm的函式圖形是以ni（xi，yi）=1為高的四面體，所以結點位移影響單元的位移場，單元的位移場是線性分布的，相鄰單元在公共邊上的位移是連續的，單元相鄰邊的位移只取決於單元相鄰公共邊上的結點而與其他結點無關，無論以哪個單元計算相鄰邊的位移，結果一定相同。
形函式nie決定了單元內的位移模式，反映了i結點位移對單元內任意點位移的貢獻率。
2、根據幾何方程用單元結點位移表示單元應變：
tb為幾何矩陣
b可寫為分塊矩陣b=（bi bj bm）t,bi=，b內所有元素與x，y無關，所以該單元內應變是常量，反映單元的常量應變，滿足完備性和連續性的要求，這是一種常應變單元。
3、根據物理方程用單元結點位移表示單元應力：
d為彈性矩陣
s為應力矩陣
s=db中，每乙個元素都是常數，所以的每乙個分量與單元內x，y位置無關，這是一種常應力單元。
因為在三結點三角形單元中，位移函式中含有座標的一次項，其誤差為，而應力、
應變是常量，其誤差為，比位移精度低。
4、根據虛功原理用單元結點位移表示單元結點力
單元在結點處受力，單元會發生變形，因此單元在結點處所受到的力與單元結點位移肯定有關係。單元間通過結點的相互作用成為整體，因此每一單元的受力——位移關係找出來，整體的受力——位移關係也就出來了。
記單元節點力為t，單元結點虛位移為
單元內應力為t， 單元內虛應變t
根據虛功原理，，可得
因為b、d中元素都是常數，，k=btdbta為單元剛度矩陣。
k為6行6列矩陣可寫為，，表示j結點處發生y方向的單位位移時所引起的i結點處x方向的結點力。不同型別不同形式的單元，只有彈性矩陣d和幾何矩陣b不同，計算子塊矩陣的公式相同，平面問題中，影響剛度矩陣k的只有幾何矩陣b。
k的性質有：
k中每個元素表示個單元結點沿座標方向發生單位位移時所引起的結點力。
k為對稱矩陣。
單元做剛體位移時，單元內不產生應變應力，結點力為0，所以k中每行每列元素之和為0，所以，所以只根據無法求得唯一解。
5、根據虛功等效原則計算等效結點力
根據有限元的基本方法，單元內任意點的位移、應變、應力等最終都要用結點位移來表示，所以作用在物體上的外力也要用結點位移表示。為了計算等效結點力，在任意的虛位移上，使原載荷與等效載荷虛功相等。
設外力為，結點虛位移為，則任意點虛位移為，等效節點載荷為,有
（集中力）
同理得（面力），（體力）。
3、整體分析
將結構的所有單元通過結點連線起來，形成乙個整體的離散結構以代替實際的連續體，以形成以結點位移為未知量的整體結構的有限元代數方程組，最後求得結點位移。
對結點受力分析：結點受到與之相關的單元給它的反作用力和外載荷的等效結點力，這兩組力座標軸方向相反，所以應該相等，即，設有n個結點，每個結點建立兩個方向的方程，不考慮外界約束時，共2n個方程，2n個未知量（），為了建立這個代數方程組，建立整個彈性體的結點力和結點位移的關係式，k（2n×2n）為整理剛度矩陣，δ為整體結點位移列陣，fl整體結點載荷列陣。
為了求整體剛度矩陣，要找到它與已求得的單元剛度矩陣的關係，在整體中對結點編碼，設整體剛度矩陣中某元素為kij，意為j個結點在x或y方向發生位移引起i個結點x或y方向的結點力，找到同時用到i與j結點的單元，並用與之對應的單元剛度矩陣中的元素ksm相加得到kij，整體剛度矩陣也是奇異矩陣，必須考慮邊界約束條件，消除k的奇異性，才能求解結點位移。再由單位結點等效載荷得到整體結點載荷列陣fl。這樣k、fl已知，求解代數方程，解出整體結點位移列陣δ，得到相應的單元結點位移δe。
δe得到了，相應的de 、σe、εe等就得到了。
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