拋物線(學案)b
一、 知識梳理：
1. 拋物線的定義
定義的理解:
定點在直線上,軌跡是
2. 拋物線的標準方程及性質(見下表)
3、焦半徑公式
=2px (p>0) ， m(, ) 為拋物線上任意一點。f為拋物線的焦點， |mf|=+
（2）、n= , m=+=
4、若拋物線過焦點的弦ab，設a（）b（），則有下列結論：
（1）、|ab|=p++
（2）、|ab|= (=2px (p>0), |ab|= (=2py (p>0))
（3）、|ab|= (=2py (p>0))(通徑是最短的焦點弦)
（4（5）、過焦點且垂直於對稱軸的弦叫通徑：|ab|=2p
（6）、焦點弦端點與頂點構成的三角形面積：
=|ab||on|=|of|||=|of|||
（7）、以焦點弦為直徑的圓與準線相切
（8）、過拋物線焦點弦的兩端點作拋物線的切線，兩切線交點位置有何特殊之處？
結論延伸：切線交點與弦中點連線平行於對稱軸
結論發散：當弦ab不過焦點即切線交點p不在準線上時，切線交點與弦中點的連線也平行於對稱軸．
（9）、過拋物線準線上任一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點。
結論延伸：過準線上任一點作拋物線的切線，過兩切點的弦最短時，即為通徑．
（10）、如圖，ab是過拋物線（p＞0）焦點f的弦，q是ab的中點，l是拋物線的準線，，，過點a，b的切線相交於p點，pq與拋物線交於點m．
（1）與是否有特殊的位置關係？結論：pa⊥pb．
（2）與是否有特殊的位置關係？結論：pf⊥ab．
（3）點m與點p、q的關係，結論：m平分pq．
（4）直線pa與∠a1ab，直線pb與∠b1ba的關係，結論：pa平分∠a1ab，pb平分∠b1ba．
（5）與的大小比較，結論：
（6）的最值問題：結論：
課下思考：當弦ab不過焦點，切線交於p點時，有無與上述結論類似結果．
則①，②pa平分∠a1ab，同理pb平分∠b1ba．
③④點m平分pq
⑤【練習】
（2023年重慶高考（文）22）對每個正整數n，是拋物線上的點，過焦點f的直線fan交拋物線於另一點，
（1）試證：（n≥1）
（2）取，並cn為拋物線上分別以an與bn為切點的兩條切線的交點，求證：（n≥1）
【作業】
（1）、證明上述問題中的結論發散
（2）、已知拋物線的焦點為f，a，b是拋物線上的兩動點，且（＞0），過a，b兩點分別作拋物線的切線，設其交點為m，
（1）證明：的值；（2）設的面積為s，寫出的表示式，並求s的最小值．
（3）、已知拋物線c的方程為，焦點為f，準線為l，直線m交拋物線於兩點a，b；
1/ 過點a的拋物線c的切線與y軸交於點d，求證：；
2/ 若直線m過焦點f，分別過點a，b的兩條切線相交於點m，求證：am⊥bm，且點m在直線l上．
5、直線與拋物線的關係
（1）、=p
（2）、直線與拋物線的公共點的情況
6、二次函式y=a 按向量=() 平移得到y=a，其中平移後座標系下的焦點座標為（0，），平移前的焦點座標為（(）
7、拋物線的焦點的位置的判斷：看方程中的一次項，一次項是哪個變數，焦點就在哪個變數對應的座標軸上，而且正係數在正半軸，負係數在負半軸；
8、a、b兩點都在拋物線上，且oa⊥ob，則=4p , =-
二、題型**
**一：拋物線的標準方程
例1：根據下列條件求出拋物線的標準方程
（1）、焦點到準線的距離是2；
（2）、已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點a（-3，y）到焦點的距離是5，
**二：拋物線的幾何性質
例2：過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交於a，b兩點，它們的橫座標之和為5，則這樣的直線（）
（a） 有且只有一條（b）有且僅有兩條（c）有無數條 （d）不存在
例3：已知點p是拋物線上任意一點，f為拋物線的焦點，點a（3，2），則|pa|+|pf|的最小值為此時p的座標是
**三：直線與拋物線的關係
例4：已知a，b是拋物線上兩點，o為原點，且oaob，求證：
（1）a，b兩點的橫座標之積和縱座標之積都是常數；
（2）、直線ab過定點。
三、方法提公升：
1、拋物線的定義是對拋物線考察的重點，往往從幾何代數兩個方面考察：
2、關於直線與拋物線的交點問題，相對於橢圓與雙曲線來說，由於其方程的特點，直接設交點的座標解決問題簡便易行；直線方程也可以根據方程的特點，靈活設為y=kx+b或者x=my+a
四、反思感悟
五、課時作業
1．過拋物線的焦點作直線交拋物線於，兩點，如果，那麼=
（a）10b）8c）6d）4
2．已知為拋物線上一動點，為拋物線的焦點，定點，則的最小值為（ ）
（a）3b）4c）5d）6
3．過拋物線的焦點作直線交拋物線於、兩點，若線段、的長分別是、，則=（ ）
（abc） （d）
4．頂點在原點，焦點在y軸上，且過點p（4，2）的拋物線方程是（ ）
(a) x2＝8y (b) x2＝4y (c) x2＝2y (d)
5．拋物線y2＝8x上一點p到頂點的距離等於它們到準線的距離，這點座標是
(a) （2，4） (b) （2，±4） (c) （1，） (d) （1，±）
6．過拋物線焦點的直線它交於、兩點，則弦的中點的軌跡方程是 ______
7．拋物線頂點在原點，以座標軸為對稱軸，過焦點且與y軸垂直的弦長等於8，則拋物線方程為
8．拋物線y2＝－6x，以此拋物線的焦點為圓心，且與拋物線的準線相切的圓的方程是
9．以雙曲線的右準線為準線，以座標原點o為頂點的拋物線截雙曲線的左準線得弦ab，求△oab的面積．
10．正三角形的乙個頂點位於座標原點，另外兩個頂點在拋物線上，求這個正三角形的邊長
11．正三角形的乙個頂點位於座標原點，另外兩個頂點在拋物線上，求正三角形外接圓的方程
12．已知的三個頂點是圓與拋物線的交點，且的垂心恰好是拋物線的焦點，求拋物線的方程
13．已知直角的直角頂點為原點，、在拋物線上，（1）分別求、兩點的橫座標之積，縱座標之積；（2）直線是否經過乙個定點，若經過，求出該定點座標，若不經過，說明理由；（3）求點**段上的射影的軌跡方程
14．已知直角的直角頂點為原點，、在拋物線上，原點在直線上的射影為，求拋物線的方程 （答案：）
15．已知拋物線與直線相交於、兩點，以弦長為直徑的圓恰好過原點，求此拋物線的方程 （答案：）
16．已知直線與拋物線相交於、兩點，若，（為座標原點）且，求拋物線的方程 （答案：）
17．頂點在座標原點，焦點在軸上的拋物線被直線截得的弦長為，求拋物線的方程（ 答案：或）
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