§1.1 準備知識
1.隨機變數的特徵函式
若隨機變數的分布函式為，則稱
為的特徵函式。其中為概率密度函式。
離散情況：
* 特徵函式是概率密度的付里葉變換。
例：設~，則特徵函式為
令，則根據公式：，則
若，則。
2.多維隨機變數的特徵函式
設隨機變數聯合概率分布函式為，則聯合特徵函式為
令,，則
矩陣形式
或標量形式
其中，為聯合概率密度函式。
例：設維高斯隨機變數為
,的概率密度為
的特徵函式為
矩陣形式
其中，,
標量形式
3.隨機變數的第二特徵函式
定義：特徵函式的對數為第二特徵函式為
(1)單變數高斯隨機過程的第二特徵函式
(2)多變數情形
§1.2 高階矩與高階累積量的定義
1.單個隨機變數情形
（1） 高階矩定義
隨機變數的階矩定義為
顯然，。隨機變數的階中心矩定義為
(1)由式(1)可見，, ,。
若存在，則的特徵函式可按泰勒級數展開，即
2)並且與的階導數之間的關係為
（2）高階累積量定義
的第二特徵函式按泰勒級數展開，有
3)並且與的階導數之間的關係為
稱為隨機變數的階累積量，實際上由及的連續性，存在，使時，，故第二特徵函式對有意義且單值（只考慮對數函式的主值），的前階導數在處存在，故也存在。
(3)二者關係
下面推導與之間的關係。形式地在式(2)與式(3)中令，並利用
比較上式中各同冪項係數，可得階累積量與階矩的關係如下：
若，則由上可見，當隨機變數的均值為零時，其前三階累積量與前三階矩相同，而四階累積量與相應的高階矩不相同。
2.多個隨機變數情形
(1)高階矩
給定維隨機變數，其聯合特徵函式為
(4)其第二聯合特徵函式為
5)可見，聯合特徵函式就是隨機變數的聯合概率密度函式的維付裡葉變換。
對式(4)與(5)分別按泰勒級數展開，則階數的聯合矩可用聯合特徵函式定義為
(2)高階累積量
同樣地，階數的聯合累積量可用第二聯合特徵函式定義為
(3)二者關係
聯合累積量可用聯合矩的多項式來表示，但其一般表示式相當複雜，這裡不加詳述，僅給出二階、三階和四階聯合累積量與其對應階次的聯合矩之間的關係。
設和均為零均值隨機變數，則
6a)6b)
(6c)
對於非零均值隨機變數，則式(6)中用代替即可。與單個變數情形類似，前三階聯合累積量與前三階聯合矩相同，而四階及高於四階的聯合累積量則與相應階次的聯合矩不同。注意，式(6)中採用表示聯合累積量的方法在以後將時常用到。
3.平穩隨機過程的高階累積量
設為零均值階平穩隨機過程，則該過程的階累積量定義為隨機變數的階聯合累積量，即
而該過程的階矩則定義為隨機變數的階聯合矩，即
這裡，表示聯合矩。
由於是階平穩的，故的階累積量和階矩僅僅是時延的函式，而與時刻無關，其二階、三階和四階累積量分別為
可以看出，的二階累積量正好就是其自相關函式，三階累積量也正好等於其三階矩，而的四階累積量則與其四階矩不一樣，為了得到四階累積量，必須同時知道四階矩和自相關函式。
§1.3 高階累積量的性質
高階累積量具有下列重要特性：
（1） 設為常數，為隨機變數，則
（2） 累積量關於變數對稱，即
其中為中的任意一種排列。
（3） 累積量關於變數具有可加性，即
（4） 如果為常數，則
（5） 如果隨機變數與隨機變數相互獨立，則
（6） 如果隨機變數中某個子集與補集相互獨立，則
§1.4 高斯過程的高階累積量
1.單個高斯隨機變數情形
設隨機變數服從高斯分布，即的概率密度函式為
故有的第二特徵函式為
7)利用累積量與的關係式(3)，並比較(3)與(7)兩式，可以得到隨機變數的各階累積量為
由此，我們有下列結論：
(1)高斯隨機變數的一階累積量和二階累積量恰好就是的均值和方差。
(2)高斯隨機變數的高階累積量等於零。
(3)由於高斯隨機變數的各階矩為
可見，高階累積量與高階矩不一樣。由於高斯隨機變數的高階矩並不比其二階矩多提供資訊，它仍取決於二階矩的統計知識，所以人們寧願選擇高階累積量這一統計量，直接把多餘的資訊用零來處理。
2.高斯隨機過程情形
先討論維高斯隨機向量，設其均值向量為，協方差矩陣為
其中維高斯隨機變數的聯合概率密度函式為
的聯合特徵函式為
其中，的第二聯合特徵函式為
由於階數的聯合累積量可由第二特徵函式定義為
於是，維高斯隨機變數的各階累積量為：
（1），即中某個值取1(設)，而其餘值為零，於是
（2），這有兩種情況：
1）中某兩個值取1(設)，其餘值為零，這時
上式利用了關係式。
2) 中某個值取2（設），其餘值為零，這時
（3），由於是關於自變數的二次多項式，因而關於自變數的三階或三階以上（偏）導數等於零，因而的三階或三階以上聯合累積量等於零，即
由上一節關於隨機過程的累積量的定義可知，對於高斯隨機過程，其階次大於２的階累積量也為零，即
由於高斯過程的高階累積量（當階次大於２時）等於零，而對於非高斯過程，至少存在著某個大於２的階次，其階累積量不等於零。因此，利用高階累積量可以自動地抑制高斯背景雜訊（有色或白色）的影響，建立高斯雜訊下的非高斯訊號模型，提取高斯雜訊中的非高斯訊號（包括諧波訊號）。正因為這樣，高階累積量這一統計量已日益受到人們的重視並已成為訊號處理中一種非常有用的工具。
因此，文中在今後的演算法研究中均代用高階累積量而不採用高階矩。
§1.5 雙譜及其性質
1.高階譜的定義
設為零均值平穩隨機過程，則其階累積量的維付裡葉變換定義為的階譜(kth-order spectrum)，即
(8)通常，為複數，其存在的充分必要條件是絕對可和，即
高階譜又稱作多譜(polyspectrum)，通常階譜對應於譜。例如三階譜對應雙譜(bispectrum)，四階譜對應於三譜(trispectrum)，今後我們大多數採用多譜這一概念。
取時，式(8)分別簡化為功率譜、雙譜和三譜公式，即
，為功率譜
9)，為雙譜
，為三譜
容易看出，式(9)就是維納-辛欽定理。可見，功率譜也是高階譜的一種特殊形式。
2.雙譜的性質
在高階譜中，雙譜處理方法最簡單，且含有功率譜中所沒有的相位資訊，是高階譜研究中的「熱點」。因此下面著重研究雙譜及其性質。
設為零均值、三階實平穩隨機過程，其自相關函式和功率譜分別為
而其三階累積量和雙譜分別為
10) (11)
由式(10)可知，三階累積量具有如下對稱性：
12)由式(11)雙譜的定義及式(12)三階累積量的對稱性可知：
(1)通常是複數，即包含幅度和相位。
(2)是以為週期的雙週期函式，即
(3)具有如下對稱性
此外，雙譜在實際應用中還具有如下重要特性：
(1) 高斯過程如果為零均值、高斯平穩隨機過程，則對於所有，都有，因此。
(2)非高斯白雜訊過程如果是具有，，的非高斯白雜訊過程，則其功率譜和雙譜分別為一直線與一平面，即，。
(3) 非高斯白雜訊通過線性系統設線性系統的傳遞函式為，系統的輸入為零均值非高斯白雜訊，且，，，則系統輸出的功率譜與雙譜分別為
設則由上可見，雙譜的幅度譜和功率譜均由決定，因而雙譜的幅度譜與功率譜的資訊一樣多。但功率譜不含相位資訊，而雙譜則包含相位資訊，這就使雙譜在訊號處理領域得到越來越多的應用，因為有些場合如對影象處理來說，相位資訊比幅度資訊還重要。
(4) 非最小相位系統的辨識雙譜含有相位資訊，因此在非最小相位系統辨識中變得十分有用，現用乙個簡單的例子加以說明。設輸入為非高斯平穩白雜訊過程，它有，，。線性系統為下列三種情形的二階fir系統。
1) 最小相位系統
系統輸出為
2) 最大相位系統
系統輸出為
3) 混合相位系統
系統輸出為
輸出，及具有相同的自相關序列，即
這就意味著它們具有相同的功率譜，因此利用功率譜無法將三個系統區分開來。然而利用雙譜則可以區分，因為，及具有不同的三階累積量，見表1.1。
這表明三階累積量可以用來辨識非最小相位系統，這在**訊號反褶積及資料通訊中有重要的應用。
表1.1 具有相同自相關的三個系統的輸出的三階累積量
(5) 混合高斯和非高斯系統的辨識設一過程的功率譜為，雙譜為。若與相匹配的線性系統的傳遞函式為，即
13)而與相匹配的線性系統的傳遞函式為，即
14)當由式(13)求得的與由式(14)求得的不同時，可用來辨識高斯與非高斯分量組合的系統。下面就來研究這個問題。
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