查建飛鄭嫻雅金蘭貞
(2023年獲全國二等獎)
摘要:目前，易拉罐飲料在市場上的銷量很大，易拉罐的需求也是難以估計的。而資源是有限的，因此易拉罐的最優設計是非常有必要的。
本文著重從形狀和尺寸的角度分析碳酸飲料的鋁質易拉罐，在容積確定的條件下以材料最省為目標建立優化模型。
首先對雪碧、可口可樂、藍帶啤酒等易拉罐容器進行測量，獲取實測值。針對易拉罐現有形狀和尺寸等資料，進行綜合分析，建立了逐漸改進的三個數學模型。
模型ⅰ:把易拉罐近似地看成乙個正圓柱體，在易拉罐的容積一定時，以材料最省為目標，用求極值的方法求得易拉罐高度與底面半徑之間的關係為，用實測值進行驗證發現比較吻合，但還是有一定誤差存在，因此進一步建立模型ⅱ進行分析。
模型ⅱ:進一步考慮易拉罐的形狀，即罐體上面部分是乙個正圓台，下面部分是乙個正圓柱體時，利用線性規劃方法求得此時易拉罐的最優設計。通過對模型ⅰ中的圓柱型易拉罐的對比，所得模型與實測值更加吻合。
模型ⅲ：以材料最省為主要目的，兼顧易拉罐的舒適度進行設計，建立模型，並給出具體的設計方案。
最後結合本模型的建立過程寫對數學建模的認識與數學建模過程的難點。
關鍵詞：最優設計形狀與尺寸合適度
一、問題重述
生活中我們發現飲料量為355毫公升的可口可樂、青島啤酒等銷量很大的飲料易拉罐的形狀和尺寸幾乎都是一樣的。這應該是某種意義下的最優設計。當然，對於單個的易拉罐來說，這種最優設計可以節省的錢可能是很有限的，但是如果是生產幾億，甚至幾十億個易拉罐的話，可以節約的錢就很可觀了。
請通過數學建模來分析上述情況並回答如下問題：
（1）取乙個飲料量為355毫公升的易拉罐，測量你們認為驗證模型所需要的資料，並把資料列表加以說明；如果資料不是你們自己測量得到的，請註明出處。
（2）設易拉罐是乙個正圓柱體。什麼是它的最優設計？其結果是否可以合理說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。
（3）設易拉罐的中心縱斷面如下圖所示，即上面部分是乙個正圓台，下面部分是乙個正圓柱體。什麼是它的最優設計？其結果是否可以合理地說明你們所測量的易拉罐的形狀和尺寸。
圖一（4）利用你們對所測量的易拉罐的洞察和想象力，做出你們自己的關於易拉罐形狀和尺寸的最優設計。
（5）用你們做本題以及以前學習和實踐數學建模的親身體驗，寫一篇短文，闡述什麼是數學建模、它的關鍵步驟，以及難點。
二、問題分析
要使易拉罐達到最優設計，必須滿足以下條件：
（1）保證容量是足夠的。
（2）材料要最節省，使生產者在保證質量的情況下，成本能降到最低。
（3）能夠保證易拉罐對容器內液體和氣體的壓力。
（4）易拉罐是大批量生產、運輸的，要避免運輸過程中瓶罐之間因碰撞造成的損失，必須穩定放置兩個易拉罐，才能保證安全運輸。
三、模型假設
(1)研究的物件是容量為355ml的碳酸飲料的易拉罐，如可口可樂、雪碧、藍代啤酒。
(2)測量的是無變形、無損壞的易拉罐。
(3)測量的是鋁製易拉罐。
四、符號定義
：易拉罐側壁的厚度易拉罐柱體部分的內半徑。
：易拉罐上底厚度易拉罐的總面積。
：易拉罐下底厚度易拉罐的內高度。
：所用材料的體積易拉罐的總體高度。
：下底厚與側壁厚的比值上底內高。
：上底厚與側壁厚的比值下底內高。
：上底內直徑上底內高。
：下底內直徑下底拱高。
：易拉罐的容量，為一固定值舒適度。
圖一五、模型建立與求解
問題一1.1測量方法
㈠ 測厚度：
把易拉罐切開壓平，n層的易拉罐壁進行疊加，直至總厚度可達m mm,則單個易拉罐壁厚則為m/n mm，同樣方法對不同品種的易拉罐進行測量,取平均值.
㈡測外徑：
用一條無彈力的繩子水平繞標準易拉罐的柱體部分一圈，再利用直尺測出繩子的長度。為減少誤差，用以上相同方法進行多次測量，取得平均值。由，得出。
㈢其餘的資料全由千分尺測得。近似取值為小數點後兩位數。
對易拉罐所測得的資料見下表一：
問題二（模型ⅰ）
2.1 模型假設:
易拉罐的形狀為正圓柱體，如圖二
圖二2.2 模型分析：
把易拉罐近似看成乙個正圓柱，要求易拉罐內的體積一定時，求能使易拉罐製作所用的材料最省。
2.3 模型的建立與求解:
易拉罐側面所用材料的體積:,
《 可以忽略所以側面材料的體積可以近似看作
易拉罐上底面所用材料的體積:
易拉罐下底面所用材料的體積:
則②代入①得
令,解得臨界點為,代入②得：
又因為，
所以所以當時,z取得最優值.
根據測量資料，則，代入公式得
圓柱型的易拉罐的尺寸雖然與實測資料相對比較吻合，但還是有一定的誤差。通過觀察發現實際中易拉罐的上部分有類似圓台的地方，這是為了減少材料還是其他目的呢？因此建立模型。
問題三（模型ⅱ）
3.1 補充假設（如圖三）
（1）為圓台部分的母線長5）表示圓柱上底面積。
（2）表示圓台部分的高度6）表示圓台的體積。
（3）表示圓柱上線高度7）表示圓柱上線的體積。
（4）表示圓台上底的面積8）355-=355-即=。
圖三3.2 模型分析：
此問題考慮的是把易拉罐的上部分改成圓台使得它跟原先的體積一樣,求出
使得易拉罐的用材最省。
3.3 模型的建立與求解:
圓台的表面積為： = +
圓柱高的表面積為： = +
- 其中由模型一可知：
化簡得：
利用lingo軟體求得d1= 30.36716 mm r= 30.36716mm h1=0mm h2=0mm 材料為752.
8548mm3（見附錄一）
從模型所求結果可以看出，圓台的上底半徑只有6.11公釐, 這樣一來易拉罐罐口只有117.283平方公釐,這與我們所測易拉罐的實際尺寸相差比較大。
因此我們對所假設的模型做如下改進：在實際中圓台上底半徑與易拉罐中間半徑相差很小約5；圓台的高度也是很小約為5。因此模型修正為：
d1=5.000000mm r=30.55185mm h2=3.
462191mm h1=5.000000mm 材料為-450.1384(mm)^3見附錄二）
由於實際中易拉罐的圓台與罐底，方便運輸，而問題三中討論的易拉罐上部是圓台用料與圓柱的廢料問題，因此，浪費點原料來提高人對易拉罐的舒適度。本文在對問題四的回答中進一步的闡述這個改進。
問題四（模型三）
改進後易拉罐模型的母線為：
改進後易拉罐模型的上底半徑：
因此，可求得改進後易拉罐模型的表面積：
上下底面積之和為：
規定改進後易拉罐模型的容積不變，還是，則
圓柱形的表面積：
圓柱上下底的面積：
因此，可得原型易拉罐的面積為：
=+b+450
改進後易拉罐模型與原型易拉罐的面積的差值：
舒適程度的函式曲線：
——它的圖象為可以根據市場調查的散點圖形式來擬合曲線 ，如下圖：
綜上所述，浪費材料與舒適程度的關係式為：；（k:舒適程度的增加錢的增值；p:表示每個單位的**）
問題五：**數學建模
在未接觸建模時，就已經聽說過它了，但不太了解，直到真正接觸，才發現原來數學建模就在我們的身邊。早在中學，甚至是小學時就已經用建立數學模型的方法來解決過一些簡單或理想化的實際問題。例如航行問題、速度問題等。
數學建模不只是對實際問題建立數學模型的過程，它還包括了對實際問題進行的解釋、求解、驗證並解決的全過程。數學建模是運用如同matlab、lingo等數學工具來得到乙個數學結構，用各種數學方程、**、圖形等表現模型的思想。它是為解決現實中存在的特定的物件，特定的目的，根據特有的內有規律進行必要的簡化假設，而設計的模型。
另外，對於同乙個客觀事物可以有多種數學描述，因此有必要在若干模型中選擇乙個最簡單，最恰當，最易於進行數學處理的模型。
對於模型，可以選擇乙個最簡單，最恰當，最易於進行數學處理的模型。如下圖：
在易拉罐模型中，我們在審題時，結合實際中普遍飲用的易拉罐，大概了解易拉罐的構造，形狀，並在某些生產產品的公司**上查閱了一些有關易拉罐具體尺寸、材料組成等，以及它的製作工藝、過程。考慮到罐內物質對瓶罐的壓力，再查閱了有關於應力等方面的知識。我們也通過各種方法，測量了易拉罐的直徑、高度、厚度等。
其次，建立數學模型。通過觀察可以發現，飲料罐總體上可分為部分：圓台、圓柱。當然，這不是偶然，必定是某種意義上的最優設計。
對模型進行適當的假設與簡化，這是建立模型的關鍵一步，必須對研究物件進行統一，即認定都為飲料量為355毫公升的易拉罐。為減少誤差，對於測得的資料用多次測量取平均值。
拉伸試驗的作用及試樣的形狀及尺寸
答 作用 測定材料的彈性，強度，塑性，應變硬化和韌性等許多重要力學效能指標 形狀 光滑圓柱試件，板狀試件 尺寸 圓柱形拉伸試件 試件的標距長度lo應比do要大得多，通常lo 5do 板狀拉伸試件 標距長度lo應滿足下列關係式 lo 5.65 或11.3 其中ao為試件的初始面積。2.應力狀態柔度係數...
橋的形狀和結構
教材分析 橋的形狀和結構 是教科版小學科學六上 形狀與結構 單元的第7課。教材安排了以下幾個活動 1.觀察比較各式各樣的拱橋。2.了解大跨度的鋼索橋。3.觀察研究我們家鄉的橋 橋的形狀結構明顯外露，容易觀察研究。橋的形狀結構變化反映了人類科學技術的進步和發展。本課的活動設計意在帶領學生了解多種多樣的...
橋的形狀和結構 1
一 教學目標 1 科學概念 1 橋梁有多種不同結構，有的橋梁把多種結構合為一體。2 橋的形狀和結構與它的功能相適應。2 過程與方法 提高觀察 比較描述和評價的能力。3 情感態度價值觀 1 體會科學技術對社會進步的作用。2 感受和欣賞橋梁的形態結構美。二 教學準備 學生小組準備 繩子 瓦楞紙或木板。教...