基本不等式及其應用
新課標要求: 掌握基本不等式≤（）；能用基本不等式證明簡單不等式（指只用一次基本不等式即可解決的問題）；能用基本不等式求解簡單的最大（小）值問題（指只用一次基本不等式即可解決的問題）.
考試說明要求:c級
● 主要知識：
基本不等式：若，則≥（等號僅當時成立）;
平方平均不等式：如果，則≥;
最值定理：當兩個正數的和一定時，其乘積有最大值；當兩個正數的乘積一定時，其和有最小值.
一．基本不等式
1.（1）若，則 (2)若，則（當且僅當時取「=」）
2. (1)若，則 (2)若，則（當且僅當時取「=」）
(3)若，則 (當且僅當時取「=」）
3.若，則(當且僅當時取「=」）;若，則(當且僅當時取「=」）
若，則 (當且僅當時取「=」）
3.若，則 (當且僅當時取「=」）
若，則 (當且僅當時取「=」）
4.若，則（當且僅當時取「=」）
注：⑴當兩個正數的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂「積定和最小，和定積最大」．
⑵求最值的條件「一正，二定，三取等」
(3)均值定理在求最值、比較大小、求變數的取值範圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用．
●主要方法：
使用基本不等式求最值的前提：「一正、二定、三相等」，如果沒有滿足前提，則應根據題目創設條件(加項變換，係數變換，平方變換，拆項變換，常量代換，三角代換等)；還要注意選擇恰當的公式；
基本不等式具有放縮功能，如果有多處用到，請注意每處取等號的條件是否一致;
當使用基本不等式求最值等號不能成立時，應考慮函式的單調性.
應用一：求最值
例1：求下列函式的值域：（1）y＝3x 2＋;
（2）y＝x＋
解題技巧：
技巧一：湊項
例1：已知，求函式的最大值。
評注：本題需要調整項的符號，又要配湊項的係數，使其積為定值。
技巧二：湊係數
例1. 當時，求的最大值。
評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊係數後可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值。
變式：設，求函式的最大值。
技巧三： 分離
例3. 求的值域。
技巧四：換元
評注：分式函式求最值，通常直接將分子配湊後將式子分開或將分母換元後將式子分開再利用不等式求最值。即化為，g(x)恆正或恆負的形式，然後運用基本不等式來求最值。
技巧五：注意：在應用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應結合函式的單調性。
例：求函式的值域。
練習．求下列函式的最小值，並求取得最小值時，x 的值.
（1）（2） (3)
2．已知，求函式的最大值.；3．，求函式的最大值.
條件求最值
1.若實數滿足，則的最小值是
分析：「和」到「積」是乙個縮小的過程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，
變式：若，求的最小值.並求x,y的值
技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯。。
2：已知，且，求的最小值。
變式： （1）若且，求的最小值
(2)已知且，求的最小值
技巧七、已知x，y為正實數，且x 2＋＝1，求x的最大值.
技巧八：已知a，b為正實數，2b＋ab＋a＝30，求函式y＝的最小值.
分析：這是乙個二元函式的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉化為一元函式問題，再用單調性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮後，再通過解不等式的途徑進行。
變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
2.若直角三角形周長為1，求它的面積最大值。
技巧九、取平方
5、已知x，y為正實數，3x＋2y＝10，求函式w＝＋的最值.
變式: 求函式的最大值。
評注：本題將解析式兩邊平方構造出「和為定值」，為利用基本不等式創造了條件。
總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意「一正二定三相等」，同時還要注意一些變形技巧，積極創造條件利用基本不等式。
應用二：利用基本不等式證明不等式
1．已知為兩兩不相等的實數，求證：
1）正數a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
例6：已知a、b、c，且。求證：
分析：不等式右邊數字8，使我們聯想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個「2」連乘，又，可由此變形入手。
應用三：基本不等式與恆成立問題
例：已知且，求使不等式恆成立的實數的取值範圍。
應用四：均值定理在比較大小中的應用：
例：若，則的大小關係是 .
●夯實基礎
1.已知下列四個結論：①當；②；③的最小值為2；④當無最大值.則其中正確命題的序號為
2.已知，且，則的最大值為
3.已知，則的最小值是 .
4.設a＞1,且,則的大小關係為
5.的最小值為 .
●典型例題
例1.（1）已知，求函式的最大值.
（2）求函式的最小值，並求出取得最小值時的值．
變式練習: (1)求函式y＝x＋(x<0)的最大值；
(2)求函式y＝＋x(x>3)的最小值；
(3)求函式y＝x(a－2x)(x>0，a為大於2x的常數)的最大值．
例2.（1）已知a，b為正常數，x、y為正實數，且，求x+y的最小值.
（2） 已知，且，求的最大值．
變式練習:
1.函式的圖象恆過定點，若點在直線上，則的最小值為
2．(2008·江蘇)設x，y，z為正實數，且滿足x－2y＋3z＝0，則的最小值是________．
●反饋練習
1．函式y＝(x>1)的最小值是
2．已知a＞b＞c，則與的大小關係是________．
3．設x＋y＝1，x、y∈(0，＋∞)，則x2＋y2＋xy的最小值是
4．設x，y∈r，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，則＋的最大值為 .
熱點二利用基本不等式求最值
[微題型1] 基本不等式的簡單應用
【例2－1】 (2015·武漢模擬)已知兩個正數x，y滿足x＋4y＋5＝xy，則xy取最小值時，x，y的值分別為________．
[微題型2] 帶有約束條件的基本不等式問題
【例2－2】 (2015·四川卷改編)如果函式f(x)＝(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在區間上單調遞減，那麼mn的最大值為________．
[微題型3] 基本不等式在實際問題中的應用
【例2－3】 如圖，在c城周邊已有兩條公路l1，l2在點o處交匯．已知oc＝(＋)km，∠aob＝75°，∠aoc＝45°，現規劃在公路l1，l2上分別選擇a，b兩處為交匯點(異於點o)直接修建一條公路通過c城．設oa＝x km，ob＝y km.
(1)求y關於x的函式關係式並指出它的定義域；
(2)試確定點a，b的位置，使△oab的面積最小．
**提高在利用基本不等式求最值時，要特別注意「拆、拼、湊」等技巧，使其滿足基本不等式中「正」(即條件要求中字母為正數)、「定」(不等式的另一邊必須為定值)、「等」(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤．
【訓練2】 (1)(2015·廣州模擬)若正實數x，y滿足x＋y＋1＝xy，則x＋2y的最小值是________．
(2)已知關於x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恆成立，則實數a的最小值為________．
8．(2015·蘇、錫、常、鎮調研)已知x，y∈r，滿足2≤y≤4－x，x≥1，則的最大值為________．
10．(2015·蘇北四市調研)某單位擬建乙個扇環麵形狀的花壇(如圖所示)，該扇環麵是由以點o為圓心的兩個同心圓弧和延長後通過點o的兩條直線段圍成．按設計要求扇環麵的周長為30公尺，其中大圓弧所在圓的半徑為10公尺．設小圓弧所在圓的半徑為x公尺，圓心角為θ(弧度)．
(1)求θ關於x的函式關係式；
(2)已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/公尺，弧線部分的裝飾費用為9元/公尺．設花壇的面積與裝飾總費用的比為y，求y關於x的函式關係式，並求出x為何值時，y取得最大值？
一、基本不等式應用技巧
一、問題背景
關於基本不等式，除了直接套用結論外，在應用時往往有一定的技巧性，是近幾年高考中的常考題型．
二、常見的思想方法: 主要思想：等價轉化思想、化歸思想等．具體方法包括常數「1」代換、換元法等．
例 （1）已知x、y為正實數，且，則的最小值為
變式1、已知x、y為正實數，且，則的最小值為
變式2、已知x、y為正實數，且，則的最小值為
變式3、已知x、y為正實數，且，則的最小值為
變式4、將變式1～4中的條件和結論互換，如何求解
（2）已知，且，則的最大值為
變式5、若實數滿足，則的最大值
變式6、已知為正數，且，則的最大值為
（3）設是正實數，且，則的最小值是
變式7、已知x、y為正實數，且，則的最小值為
變式8、設是正實數，且，則的最小值是
（4）設都是正數，且滿足則使恆成立的的取值範圍是
（5）設實數a，x，y，滿足則xy的取值範圍是
（6）已知，，則的取值範圍為
變式9、已知，，則的最小值為
練習：1．已知對恆成立，則的範圍為
2．已知x、y為正實數，且，則x+y最小值為
3．，若m,n滿足，則m+n最小值為
4．已知，則最小值是
5．已知正數滿足，則的最小值為
6．已知正數滿足，則的最小值為
7．若,且,則的最小值為
8．已知，，則的最小值為
不等式高考複習二 不等式的證明
二.教學目的 掌握不等式證明的方法與技巧 三.教學重點 難點 不等式的證明方法 四.知識分析 不等式證明的方法技巧 方法一用比較法證明不等式 比較法是證明不等式的最基本 最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，包括作差法和作商法。作差法的一般步驟為 作差 變形 判斷符號 其中變形...
2019屆高三數學專題複習教案 不等式
一 本章知識結構 二 考試內容 1 理解不等式的性質及其證明。2 掌握兩個 不擴充套件到三個 正數的算術平均數不小於它們的幾何平均數的定理，並會簡單的應用。即基本不等式的應用 3 掌握分析法 綜合法 比較法證明簡單的不等式。4 掌握簡單不等式的解法。5 理解不等式 a b a b a b 三 重點知...
不等式選講高考專題複習學生版
不等式選講 知識點複習 1 不等式的基本性質 對稱性傳遞性 可加性 同向可加性 異向可減性 可積性 同向正數可乘性異向正數可除性 平方法則開方法則 倒數法則 2 幾個重要不等式 當且僅當時取號 變形公式 基本不等式 當且僅當時取到等號 變形公式 用基本不等式求最值時 積定和最小，和定積最大 要注意滿...