瀘縣一中高09級迎「二診」考試理科數學綜合複習講義
一、客觀題知識點歸納：
二、解答題部分
三、典型例題
例1設的內角所對的邊長分別為，，
（ⅰ）求的值；（ⅱ）若最長的邊為1，求最短的邊的長．
練習1：已知向量，，，其中．
（ⅰ）當時，求的集合；（ⅱ）求的最大值與最小值．
練習2：已知，，，求：
（ⅰ）的值；（ⅱ）的值．
例2設一部機器在一天內發生故障的概率為0.2，機器發生故障時全天停止工作，若一周5個工作日內均無故障，可獲利潤10萬元，發生1次故障可獲利潤5萬元，只發生2次故障可獲利潤0萬元，發生3次或3次以上故障就要虧損2萬元，求一周內期望利潤是多少？
練習1：甲、乙、丙三人在同一辦公室工作。辦公室只有一部**機，設經過該機打進的**是打給甲、乙、丙的概率依次為、、。若在一段時間內打進三個**，且各個**相互獨立。求：
（ⅰ）這三個**是打給同乙個人的概率；
（ⅱ）這三個**中恰有兩個是打給甲的概率；
解：（ⅰ）由互斥事件有乙個發生的概率公式和獨立事件同時發生的概率公式，
所求概率為：
（ⅱ）這是n=3，p=的獨立重複試驗，故所求概率為：
練習2：已知袋子裡有大小形狀相同的3個紅球，2個藍球，1個黃球；從中任取一球確定顏色後再放回，取到紅球後就結束選取，最多可以取3次．
（ⅰ）求在3次選取中恰有兩次取到藍球的概率；（ⅱ）求取球次數的分布列和數學期望．
例3已知數列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3….
(ⅰ)令
(ⅱ)求數列
(ⅲ)設的前n項和,是否存在實數，使得數列為等差數列？若存在，試求出.若不存在,則說明理由。
解：（）由已知得
又是以為首項，以為公比的等比數列.
（）由（）知，
將以上各式相加得：
（）解法一：
存在，使數列是等差數列.
數列是等差數列的充要條件是、是常數即又
當且僅當，即時，數列為等差數列.
解法二：
存在，使數列是等差數列.
由（）、（）知，
又當且僅當時，數列是等差數列.
練習1：數列的前項和記為
（ⅰ）求的通項公式；
（ⅱ）等差數列的各項為正，其前項和為，且，又成等比數列，求．
本小題主要考察等差數列、等比數列的基礎知識，以及推理能力與運算能力。滿分12分。
解：（ⅰ）由可得，兩式相減得
又∴ 故是首項為，公比為得等比數列
∴（ⅱ）設的公比為
由得，可得，可得
故可設又
由題意可得
解得∵等差數列的各項為正，∴ ∴∴
練習2：已知正項數列的前項和滿足：．
（ⅰ）求，；（ⅱ）求的通項公式；
（ⅲ）令，問數列的前多少項的和最大？
例4設平面直角座標系中，設二次函式的圖象與兩座標軸有三個交點，經過這三個交點的圓記為c．求：
（ⅰ）求實數b 的取值範圍；
（ⅱ）求圓c 的方程；
（ⅲ）問圓c 是否經過某定點（其座標與b 無關）？請證明你的結論．
【解析】本小題主要考查二次函式圖象與性質、圓的方程的求法．
（ⅰ）令＝0，得拋物線與軸交點是（0，b）；
令，由題意b≠0 且δ＞0，解得b＜1 且b≠0．
（ⅱ）設所求圓的一般方程為
令＝0 得這與＝0 是同乙個方程，故d＝2，f＝．
令＝0 得＝0，此方程有乙個根為b，代入得出e＝―b―1．
所以圓c 的方程為.
（ⅲ）圓c 必過定點（0，1）和（－2，1）．
證明如下：將（0，1）代入圓c 的方程，得左邊＝0＋1＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0，
所以圓c 必過定點（0，1）．
同理可證圓c 必過定點（－2，1）．
練習1：設圓c的圓心為，且直線被圓c截得的弦長為．（1）求圓c的方程；（2）設圓c的方程為，，，，作出表示的平面區域，並求該平面區域的面積．
練習2：已知圓c的圓心與點關於直線對稱．直線與圓c相交於兩點，且，
（ⅰ）求圓c的方程；（ⅱ）若圓c上存在點使得不等式恆成立，求實數的取值範圍．
例5已知兩定點，滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交於兩點。如果，且曲線上存在點，使，求的值和的面積。
本小題主要考察雙曲線的定義和性質、直線與雙曲線的關係、點到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分12分。
解：由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，
且，易知， 故曲線的方程為
設，由題意建立方程組
消去，得
又已知直線與雙曲線左支交於兩點，有
解得又∵依題意得整理後得
∴或但 ∴，故直線的方程為
設，由已知，得
∴，又，
，∴點將點的座標代入曲線的方程，得，得，但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，∴，點的座標為到的距離為
∴的面積
練習1：設橢圓中心在座標原點，是它的兩個頂點，直線與ab相交於點d，與橢圓相交於e、f兩點．
（ⅰ）若，求的值；
（ⅱ）求四邊形面積的最大值．
（ⅰ）解：依題設得橢圓的方程為，
直線的方程分別為，． 2分
如圖，設，其中，
且滿足方程，
故．①由知，得；
由在上知，得．
所以，化簡得，
解得或． 6分
（ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，
． 9分
又，所以四邊形的面積為
，當，即當時，上式取等號．所以的最大值為． 12分
解法二：由題設，，．
設，，由①得，，
故四邊形的面積為
9分，當時，上式取等號．所以的最大值為． 12分
練習2：已知拋物線：，直線交於兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交於點．
（ⅰ）證明：拋物線在點處的切線與平行；
（ⅱ）是否存在實數使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．
20．解法一：（ⅰ）如圖，設，，把代入得，
由韋達定理得，，
， 點的座標為．
設拋物線在點處的切線的方程為，
將代入上式得，
直線與拋物線相切，
，．即．
（ⅱ）假設存在實數，使，則，又是的中點，
．由（ⅰ）知
．軸，．
又 ．
，解得．
即存在，使．
解法二：（ⅰ）如圖，設，把代入得
．由韋達定理得．
， 點的座標為．，，
拋物線在點處的切線的斜率為，．
（ⅱ）假設存在實數，使．
由（ⅰ）知，則
，，，解得．
即存在，使．
例6已知函式，其中．
（ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）當時，求函式的單調區間與極值．
（ⅰ）解：當時，，，
又，．所以，曲線在點處的切線方程為，
即．（ⅱ）解：．
由於，以下分兩種情況討論．
（1）當時，令，得到，．當變化時，的變化情況如下表：
所以在區間，內為減函式，在區間內為增函式．
函式在處取得極小值，且，
函式在處取得極大值，且．
（2）當時，令，得到，當變化時，的變化情況如下表：
所以在區間，內為增函式，在區間內為減函式．
函式在處取得極大值，且．
函式在處取得極小值，且．
練習1：已知函式．
（ⅰ）求函式在區間上的最大值、最小值；
（ⅱ）求證：在區間上，函式的圖象恆在函式的圖象的下方．
練習2：已知函式，其中是的導函式
（ⅰ）對滿足的一切的值，都有，求實數的取值範圍；
（ⅱ）設，當實數在什麼範圍內變化時，函式的圖象與直線只有乙個公共點。
解：（ⅰ）由題意
令，對，恒有，即
∴ 即
解得故時，對滿足的一切的值，都有
（ⅱ）①當時，的圖象與直線只有乙個公共點
②當時，列表：
∴又∵的值域是，且在上單調遞增
∴當時函式的圖象與直線只有乙個公共點。
當時，恒有
由題意得即解得
綜上，的取值範圍是
第二講數列的綜合應用
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