一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
1.如圖4所示,圓o的直徑ab=6,c為圓周上一點,bc=3過c作
圓的切線l,過a作l的垂線ad,垂足為d,則∠dac =( )
abcd.
【解析】由弦切角定理得,又,故,
故選b.
2.在中,、分別是斜邊上的高和中線,是該圖中共有個三角形與相似,則( )
a.0 b.1 c.2 d.3
【解析】2個:和,故選c.
3.乙個圓的兩弦相交,一條弦被分為12和18兩段,另一弦被分為,則另一弦的長為( )
a. b. cd.
【解析】設另一弦被分的兩段長分別為,由相交弦定理得,解得,故所求弦長為.故選b.
4.如圖,在和中,,若與
的周長之差為,則的周長為( )
a. b. c. d.25
【解析】利用相似三角形的相似比等於周長比可得答案d.
5.的割線交於兩點,割線經過圓心,已知,則的半徑為( )
a.4bcd.8
【解析】設半徑為,由割線定理有,解得.故選d.
6.如圖,是半圓的直徑,點在半圓上,於點,
且,設,則＝( )
abcd.
【解析】設半徑為,則,由得,從而,故,選a.
7.在中,分別為上的點,且,的面積是,梯形的面積為,則的值為( )
abcd.
【解析】,利用面積比等於相似比的平方可得答案b.
8.半徑分別為1和2的兩圓外切,作半徑為3的圓與這兩圓均相切,一共可作( )個.
a.2b.3c.4d.5
【解析】一共可作5個,其中均外切的2個,均內切的1個,一外切一內切的2個,故選d.
9.如圖甲,四邊形是等腰梯形,.由4個這樣的
等腰梯形可以拼出圖乙所示的平行四邊形,
則四邊形中度數為 ( )
abc. d.
【解析】,從而,選a.
10.如圖,為測量金屬材料的硬度,用一定壓力把乙個高強度鋼珠
壓向該種材料的表面,在材料表面留下乙個凹坑,現測得凹坑
直徑為10mm,若所用鋼珠的直徑為26 mm,則凹坑深度為( )
a.1mm b.2 mm c.3mm d.4 mm
【解析】依題意得,從而,
故,選a.
11.如圖,設為內的兩點,且,＝＋,則的面積與的面積之比為( )
abcd.
【解析】如圖,設,,則.
由平行四邊形法則知,所以＝,
同理可得．故,選b.
12.如圖,用與底面成角的平面截圓柱得一橢圓截線,則該橢圓的
離心率為 ( )
a． b． c． d．非上述結論
【解析】用平面截圓柱,截線橢圓的短軸長為圓柱截面圓的直徑,弄清了這一概念,考慮橢圓所在平面與底面成角,則離心率.故選a.
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上.
13.一平面截球面產生的截面形狀是_______;它截圓柱面所產生的截面形狀是________
【解析】圓;圓或橢圓.
14.如圖,在△abc中,ab＝ac,∠c＝720,⊙o過a、b兩點且
與bc相切於點b,與ac交於點d,鏈結bd,若bc＝,
則ac【解析】由已知得,,
解得.15.如圖,為的直徑,弦、交於點,
若,則=
【解析】鏈結,則,又,
從而,所以.
16.如圖為一物體的軸截面圖,則圖中r的值
是【解析】由圖可得,解得.
三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(本小題滿分12分)
如圖:是的兩條切線,是切點,是
上兩點,如果,試求的度數.
【解析】鏈結,根據弦切角定理,可得
.18.(本小題滿分12分)
如圖,⊙的直徑的延長線與弦的延長線相交於點,
為⊙o上一點,,交於點,且,
求的長度.
【解析】鏈結,由同弧對應的圓周角與圓心角之間的關係
結合題中條件可得,又,
,從而,故,∴,
由割線定理知,故.
19.(本小題滿分12分)
已知:如右圖,在等腰梯形abcd中,ad∥bc,
ab＝dc,過點d作ac的平行線de,交ba的延長線於
點e．求證：(1)△abc≌△dcb (2)de·dc＝ae·bd．
【解析】證明：(1) ∵四邊形abcd是等腰梯形，∴ac＝db
∵ab＝dc，bc＝cb，∴△abc≌△bcd
(2)∵△abc≌△bcd，∴∠acb＝∠dbc，∠abc＝∠dcb
∵ad∥bc，∴∠dac＝∠acb，∠ead＝∠abc
∵ed∥ac，∴∠eda＝∠dac ∴∠eda＝∠dbc，∠ead＝∠dcb
∴△ade∽△cbd ∴de:bd＝ae:cd， ∴de·dc＝ae·bd.
20.(本小題滿分12分)
如圖,△abc中,ab=ac,ad是中線,p為ad上一點,cf∥ab，bp延長線交ac、cf於e、f,求證: pb=pepf．
【解析】鏈結,易證
∵ ∴,從而
又為與的公共角,
從而,∴ ∴
又, ∴,命題得證.
21.(本小題滿分12分)
如圖,是以為直徑的上一點,於點,
過點作的切線,與的延長線相交於點是
的中點,鏈結並延長與相交於點,
延長與的延長線相交於點.
(1)求證:；
(2)求證:是的切線；
(3)若,且的半徑長為,求和的長度.
【解析】(1)證明：是的直徑，是的切線，
．又，．
易證，．
．．是的中點，．．
(2)證明：鏈結．是的直徑，．
在中，由（1），知是斜邊的中點，
．．又，．
是的切線，．
，是的切線．
(3)解：過點作於點．，．
由(1)，知，．
由已知，有，，即是等腰三角形．
，．，，即．
，四邊形是矩形，．
，易證．，即．
的半徑長為，．．
解得．．，．．
在中，，，由勾股定理，得．
．解得（負值捨去）．．
［或取的中點，鏈結，則．易證，，故，．由，易知，．
由，解得．又在中，由勾股定理，得
，（捨去負值）．］
22.(本小題滿分14分)
如圖1,點將線段分成兩部分,如果,那麼稱點為線段的**分割點.某研究小組在進行課題學習時，由**分割點聯想到「**分割線」，類似地給出「**分割線」的定義:直線將乙個面積為的圖形分成兩部分,這兩部分的面積分別為,,如果,那麼稱直線為該圖形的**分割線.
(1)研究小組猜想：在中，若點為邊上的**分割點(如圖2),則直線是的**分割線．你認為對嗎?為什麼?
(2)請你說明:三角形的中線是否也是該三角形的**分割線？
(3)研究小組在進一步**中發現：過點任作一條直線交於點,再過點作直線,交於點,連線(如圖3),則直線也是的**分割線．請你說明理由．
(4)如圖4，點是的邊的**分割點，過點作，交於點，顯然直線是的**分割線.請你畫一條的**分割線,使它不經過各邊**分割點.
【解析】(1)直線是的**分割線.理由如下:設的邊上的高為．
,,,所以，
又因為點為邊的**分割點，所以有．因此．
所以，直線是的**分割線.
(2)因為三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分,此時,即，所以三角形的中線不可能是該三角形的**分割線.
(3)因為,∴和的公共邊上的高也相等,所以有
設直線與交於點．所以．所以
，．又因為，所以.
因此，直線也是的**分割線．
(4)畫法不惟一，現提供兩種畫法；
畫法一：如答圖1，取的中點，再過點作一條直線分別交,於,點,則直線就是的**分割線．
畫法二:如答圖2,在上取一點,連線,再過點作交於點，連線，則直線就是的**分割線．
選修4 1幾何證明選講
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