2023年安徽工程科技學院
大學生數學競賽非數學專業試題及參考解答
注：本試卷每小題10分，滿分100分。第11題為附加題，僅在前10題得分相同情況下參考。
1．求極限 。
2．設函式由方程確定，試判斷曲線在點附近的凹凸性。
3．設，求不定積分。
4．求曲線的一條切線，使得該曲線與切線及直線和所圍成的圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積為最小。
5．設為連續函式，滿足方程，求。
6．設，其中函式具有二階連續導數，求。
7．求，其中均為常數，為從點沿曲線到點的一段弧。
8．計算曲面積分，其中是錐面被平面和所截出部分的外側。
9．求級數的和函式。
10．設對任意，有，，試證。
11．（附加題）設在內單調減少，，則，。
參考解答：
1解：= ==。
2解： 在兩邊對求導得 ，
解得，兩邊對再求導得，
將x=1，y =1 代入得 ，
由於二階導函式在x=1的附近是連續函式，所以由，可知在x=1的附近有<0，故曲線在點附近是凸的。
3解： 設，則，，所以，
於是。4解： 設切點座標為，由，可知曲線在處的切線方程為 ，或。
因此所求旋轉體的體積為
所以，，得駐點，捨去，由於
，因而函式在處達到極小值，而且也是最小值。因此所求切線方程為。
5解：， ，求得乙個特解為，通解，
所求特解為。
6解：令，則，
， ，=0。
7解：利用格林公式。新增從點沿直線到點的有向直線段，則
對於，因為為封閉曲線，由格林公式知；
對於，直接計算。
所以，。
8解：利用高斯公式。補充有向曲面:下側，有向曲面:上側，利用高斯公式，有
其中為:，又由於，，故。
9解：令，，當時，，
因為， ，
所以，於是當時， =， ，
當， =0。
10證：在上的一階泰勒公式為
,介於與之間。
因為，所以，於是，有，
不等式兩邊在上對積分，得
所以 又，所以，
即。11證：
而（泰勒公式得），得證。
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