（理工類）
一、 填空：（本題15分，每空3分。請將最終結果填在相應的橫線上面。）
1. 設函式，，且當x→0時，與為等價無窮小，則a = 3 。
2. 設函式在點處取得極小值，則。
3. 。
4. 曲線在點（1，1，2）處的切線方程為。
5. 。
二、選擇題：（本題15分，每小題3分。每個小題的四個選項中僅有乙個是正確的，把你認為「正確選項」前的字母填在括號內。選對得分；選錯、不選或選出的答案多於乙個，不得分。）
1. 設函式連續，則下列函式中必為偶函式的是（ a ）
（ab）；
（cd）。
2. 設函式具有一階導數，下述結論中正確的是（ d ）
（a）若只有乙個零點，則必至少有兩個零點；
（b）若至少有乙個零點，則必至少有兩個零點；
（c）若沒有零點，則至少有乙個零點；
（d）若沒有零點，則至多有乙個零點。
3. 設函式在區間內具有二階導數，滿足，，又，則當時恒有（ b ）
（ab）；
（cd）。
4.考慮二元函式在點處的下面四條性質：
①連續可微；
③與存在與連續。
若用「pq」表示可由性質p推出性質q，則有（ b ）
（ab）④②①；
（cd）④③②。
5.設二元函式具有一階連續偏導數，曲線l：過第二象限內的點m和第四象限內的點n，γ為l上從點m到點n的一段弧，則下列積分值為負的是（ c ）
（ab）；
（cd）。
三、已知曲線與曲線在點(0,0)處具有相同的切線，寫出該切線方程，並求極限。（本題6分）
解：由已知，顯然有，且在點(0,0)處
故因此，所求切線方程為y = x。
。四、證明：當x > 2時，。（本題7分）
證明：設，，。
又設：，則。
由拉格朗日中值定理知，存在，使
，而，又，故。從而，當x > 2時，
，即單調減少，從而。命題得證。
五、設，求。（本題7分）
解：利用牛頓—萊布尼茲公式： 。設，
注意到：；，，
。故，於是有。
六、設當時，，且，試確定常數a的值，使在x = 0點處可導，並求此導數。（本題7分）
解：首先寫出在 x < 0附近的表示式：當時，。由知， ，故有
顯然，在點 x = 0處連續，且，，。
因在x = 0點處可導的充要條件為：，即，且。
七、設函式在區間內連續，且滿足，
⑴ 求；
⑵ 計算，其中l是從原點o到點m（1,3）的任意一條光滑弧。（本題7分）
解：⑴ 將原等式兩邊對x求導，得到
，所以。
命：，於是有。
⑵ 因為，
所以。於是可知i與積分路徑無關，從而
，命：，當x = 0,y = 0時，t = 1；x = 1,y = 3時，t = 12。
故八、求過第一卦限中的點(a,b,c)的平面，使之與三座標平面所圍成的四面體的體積最小。（本題8分）
解：設所求平面的截距式方程為
。因平面過點(a,b,c)，故有
四面體體積。
應用拉格朗日乘數法，設，命
得到顯然，否則，這與題意不符。代入上述第四個方程，得到
，從而是唯一駐點，也是唯一最小值點。故所求平面為
。九、設，計算。（本題7分）
解：將區域d分成三塊：
於是十、設函式，其中在點(0,0)的乙個鄰域內連續，證明：在點(0,0)處可微的充要條件是。（本題8分）
證明：充分性
已知，欲證在點(0,0)處可微，只需證
。注意到
所以又，由夾逼定理知。
從而在點(0,0)處可微，並且。
必要性已知在點(0,0)處可微，故與都存在。而
，其中當時，；當時，。由於存在，故。
十一、計算，其中為一連續函式，σ是平面在第四卦限部分的上側。（本題7分）
解：化為第一類曲面積分求解。設σ的單位法向量，則
其中。故。
十二、設函式在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且有，，則至少存在一點，使得。（本題6分）
證明：由積分中值定理知，存在，使
。又，故若設，顯然滿足羅爾定理的各個條件，從而至少存在一點使。而
，從而有
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