絕密★啟用前
2023年普通高等學校招生全國統一考試
理科數學
注意事項：
1.答題前，考生先將自己的姓名、准考證號填寫清楚，將條形碼準確貼上在條形碼區域內。
2.選擇題必須使用2b鉛筆填塗；非選擇題必須使用0.5公釐黑色字跡的簽字筆書寫，字型工整，筆跡清楚
3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定後必須用黑色字跡的簽字筆描黑。
5.保持卡面清潔，不要摺疊、不要弄破、弄皺，不准使用塗改液、修正帶、刮紙刀
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.（ ）
abcd．
2.設集合，．若，則（ ）
abcd．
3.我國古代數學名著《演算法統宗》中有如下問題：「遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？
」意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）
a．1盞b．3盞c．5盞d．9盞
4.如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三檢視，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ）
abcd．
5.設，滿足約束條件，則的最小值是（ ）
abcd．
6.安排3名志願者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ）
a．12種b．18種c．24種d．36種
7.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看後甲對大家說：
我還是不知道我的成績．根據以上資訊，則（ ）
a．乙可以知道四人的成績b．丁可以知道四人的成績
c．乙、丁可以知道對方的成績d．乙、丁可以知道自己的成績
8.執行右面的程式框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）
a．2b．3c．4d．5
9.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（ ）
a．2bcd．
10.已知直三稜柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
abcd．
11.若是函式的極值點，則的極小值為（ ）
abcd.1
12.已知是邊長為2的等邊三角形，p為平面abc內一點，則的最小值是（ ）
abcd.
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13.一批產品的二等品率為，從這批產品中每次隨機取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數，則
14.函式（）的最大值是
15.等差數列的前項和為，，，則
16.已知是拋物線的焦點，是上一點，的延長線交軸於點．若為的中點，則
三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第17~21題為必做題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。
（一）必考題：共60分。
17.（12分）
的內角的對邊分別為,已知．
(1)求
(2)若,面積為2,求
18.（12分）
淡水養殖場進行某水產品的新、舊網箱養殖方法的產量對比，收穫時各隨機抽取了100 個網箱，測量各箱水產品的產量（單位：kg）某頻率直方圖如下：
（1） 設兩種養殖方法的箱產量相互獨立，記a表示事件：舊養殖法的箱產量低於50kg, 新養殖法的箱產量不低於50kg,估計a的概率；
（2） 填寫下面列聯表，並根據列聯表判斷是否有99%的把握認為箱產量與養殖方法有關：
（3） 根據箱產量的頻率分布直方圖，求新養殖法箱產量的中位數的估計值（精確到0.01）
19.（12分）
如圖，四稜錐p-abcd中，側面pad為等比三角形且垂直於底面abcd， e是pd的中點.
（1）證明：直線平面pab
（2）點m在稜pc 上，且直線bm與底面abcd所成銳角為，求二面角m-ab-d的余弦值
20. （12分）
設o為座標原點，動點m在橢圓c：上，過m做x軸的垂線，垂足為n，點p滿足.
(1) 求點p的軌跡方程；
(2) 設點q在直線x=-3上，且.證明：過點p且垂直於oq的直線l過c的左焦點f.
21.（12分）
已知函式且.
（1）求a；
（2）證明：存在唯一的極大值點，且.
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，按所做的第一題計分。
22.[選修4-4：座標系與引數方程]（10分）
在直角座標系xoy中，以座標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極座標系，曲線的極座標方程為．
（1）m為曲線上的動點，點p**段om上，且滿足,求點p的軌跡的直角座標方程；
（2）設點a的極座標為，點b在曲線上，求面積的最大值．
23.[選修4-5：不等式選講]（10分）
已知，證明：
（1）；
（2）．
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