品·淘奧數（高年段老師用）
第八講：週期問題
專題簡析：在日常生活中，有一些按照一定的規律不斷重複出現。如：
人的12生肖，一年有春夏秋冬四個季節，乙個星期有七天等等。像這些問題，我們稱為「簡單週期問題」。這一類問題一般要利用餘數的知識來解答。
所以這就要求我們對題目要仔細審題，判斷其不斷重複出現的規律，也就是找出迴圈的固定數，然後利用除法算式求出餘數，最後根據餘數得出正確的結果。
★小試牛刀
1、2023年10月1日是星期一，問10月25日是星期幾？
分析與解答：我們知道，每個星期有7天，也就是說以7天為乙個週期不斷地重複。那麼從10月1日到10月25日經過了25-1=24（天）。因此用除法算式解答。
（1）、從10月1日到10月25日有：25-1=24（天），
（2）、24天裡有多少個星期餘多少天？24÷7=3（個星期）……3（天），
（說明24天中包含3個星期還多3天，最後一天起，再過3天就應是星期四）。
即：10月25日是星期四。
2、2023年8月1日是星期五，問9月28日是星期幾？
分析與解答：分析同上題。
（1）、從8月1日到9月28日有：31+28-1=58（天），
（2）、58天裡有多少個星期餘多少天？58÷7=8（個星期）……2（天），
（說明58天中包含8個星期還多2天，最後一天起，再過2天就應是星期日）。
即：9月28日是星期日。
3、2023年8月1日是星期四，問2023年的元旦是星期幾？
分析與解答：題目分析與上題類似。
（1）、從8月1日到該年的元旦即1月1日有：31×4+29+30×2=213（天），
（2）、213天裡有多少個星期餘多少天？213÷7=30（個星期）……3（天），
（說明213天中包含30個星期還多3天，最後一天起，再往前推3天就應是星期一）。
即：2023年的元旦是星期一。
4、如果公元2023年是兔年，那麼公元6年是什麼年？
分析與解答：十二生肖是以12年為一年週期。
（1）、從2023年到公元2年有：2011-6=2005（年），
（2）、2023年裡有多少個十二年餘多少年？2005÷12=167（個十二年）……1（年），
（說明2023年中包含167個十二年還多1天，最後一年起，再往前推1年就應是虎年）
即：公元6年是虎年。
5、黑珠、白珠共102顆，穿成一串，排列如下圖：
這串珠子中，最後一顆珠子應該是_____色的,這種顏色的珠子在這串中共有_____顆。
分析與解答：根據圖示可知,若去掉第一顆白珠後它們的排列是按「一黑三色」交替迴圈出現的，也就是這一排列的週期為4。
由(102-1) 4=25…1，可知迴圈25個週期，最後一顆珠子是黑色的.黑色珠子共有125+1=26(顆)。
★★挑戰自我
1、100個3相乘，積的個位數字是幾？
分析與解答：我們只需考慮積的個位數的排列規律就可以了。
（1）、1×3=3……1個3相乘積的個位數字是：3
（2）、3×3=9……2個3相乘積的個位數字是：9
（3）、3×3×3=27……3個3相乘積的個位數字是：7
（4）、3×3×3×3=81……4個3相乘積的個位數字是：1
（5）、3×3×3×3×3=243……5個3相乘積的個位數字是：3（已經重複出現）
（說明：可以發現積的個位數分別以3、9、7、1不斷出重複出現的。即每4個3的積的個位數為乙個週期。）
所以100個有多少個週期？100÷4=25（個）（整除說明是最後乙個即個位為1）
答：積的個位數字是1。
2、 流水線上生產小木珠塗色的次序是:先5個紅,再4個黃,再3個綠,再2個黑,再1個白,然後再依次是5紅,4黃,3綠,2黑,1白,……繼續下去第1993個小珠的顏色是什麼顏色？
分析與解答：小木球是依次按5紅,4黃,3綠,2黑和1白的規律塗色的,把它看成週期性問題,每個週期為15。
由199315=132…13知，第1993個小球是第133週期中的第13個，按規律塗色應該是黑色，所以第1993個小球的顏色是黑色。
3、有一列數按「432791864327918643279186……」排列。那麼前54個數字之和是多少？
分析與解答：觀察發現，重複出現的部分是「43279186」，週期數是8。要求出這列數字的和，就要求出這一列數里共有多少組「43279186」，再求出這組的和。
（1）、54÷8=6（組）……6（個）；（2）、4+3+2+7+9+1+8+6=40；（3）、6×40=240；（4）、餘下的6個數的和為：4+3+2+7+9+1=26；（5）、240+26=266。
答：前54個數字之和是266。
4、按下面擺法擺80個三角形,有幾個白色的？
分析與解答：從圖中可以看出,三角形按「二黑二白一黑一白」的規律重複排列，也就是這一排列的週期為6，並且每一週期有3個白色三角形。
因為806=13…2，而第十四期中前兩個三角形都是黑色的，所以共有白色三角形133=39（個）。
5、河岸上種了1000棵樹，第一棵是蟠桃，再後面兩棵是水蜜桃，再後面三棵是大青桃。接下來總是一棵蟠桃，兩棵水蜜桃，三棵大青桃這樣種下去。問第100棵是什麼桃樹？
三種樹各有多少棵？
分析與解答：由題意可知，1蟠2蜜3青，以6為乙個週期。1006=16餘4。所以，第100棵與第四棵是一樣的桃，即是大青桃。
1000÷6=166餘4。餘下那四個分別是一棵蟠桃、2棵水蜜桃、1棵大青桃。
所以，蟠桃共有166+1=167棵；水蜜桃共有1662+2=334棵；大青桃共有1663+1=499棵。
★★★智慧型一加一
1、緊接著1989後面一串數字，寫下的每個數字都是它前面兩個數字的乘積的個位數。例如89=72,在9後面寫2,92=18,在2後面寫8,……得到一串數字:
1 9 8 9 2 8 6……
這串數字從1開始往右數，第1989個數字是什麼？
分析與解答：依照題述規則多寫幾個數字:1989286884286884……
可見1989後面的數總是不斷迴圈重複出現286884，每6個一組，即迴圈週期為6。因為(1989-4) 6=330…5，所以所求數字是8。
2、777……7所得積末位數是幾？
50個分析與解答：71末位數為7,72末位數為9,73末位數為3, 74末位數1；75=74+1末位數為7,76=74+2末位數為9，77=74+3末位數為3，78=74×2末位數為1……
由此可見，積的末位依次為7，9，3，1，7，9，3，1……，以4為週期迴圈出現。
因為504=12…2，即750=，所以750與72末位數相同，也就是積的末位數是9。
3、1991個1990相乘所得的積與1990個1991相乘所得的積，再相加的和末兩位數是多少？
分析與解答：1991個1990相乘所得的積末兩位是0,我們只需考察1990個1991相乘的積末兩位數即可.1個1991末兩位數是91,2個1991相乘的積末兩位數是81,3個1991相乘的積末兩位數是71,4個至10個1991相乘的積的末兩位數分別是：
61,51,41,31,21,11,01,11個1991相乘積的末兩位數字是91，……，
由此可見，每10個1991相乘的末兩位數字重複出現，即週期為10.因為199010=199,所以1990個1991相乘積的末兩位數是01,即所求結果是01。
4、甲、乙二人對一根3公尺長的木棍塗色。首先，甲從木棍端點開始塗黑5厘公尺，間隔5厘公尺不塗色，接著再塗黑5厘公尺，這樣交替做到底。然後，乙從木棍同一端點開始留出6厘公尺不塗色，接著塗黑6厘公尺，再間隔6厘公尺不塗色，交替做到底。
最後，木棍上沒有被塗黑部分的長度總和為多少厘公尺？
分析與解答：根據題意甲、乙從同一端點開始塗色，甲按黑、白，黑、白……交替進行；乙按白、黑，白、黑……交替進行，如下圖所示：
由上圖可知，甲黑、乙白從同一端點起，到再一次甲黑、乙白同時出現，應是5與6的最小公倍數的2倍，即562=60厘公尺，也就是它們按60厘公尺為週期迴圈出現.並且在每乙個週期中沒有塗色的部分是：1+3+5+4+2=15(厘公尺)。
所以，在3公尺的木棍上沒有塗黑色的部分長度總和是：15(30060)=75(厘公尺)
[注]請注意這裡的週期是5與6最小公倍數的2倍,而不是5與6的最小公倍數.這是同學們容易犯的錯誤。
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