龍口市遇家中學張巨集
很高興有這個機會和大家共同研討八年級上冊課本中的一些疑難問題，我深知個人水平有限，希望在研討過程中能得到大家的批評和指教。
剛接到這項任務時，心情很是忐忑，感覺壓力很大，在此期間得到王主任的很多鼓勵和幫助，心裡很是感謝。下面就課本中我認為重點或難點的知識、典型習題的變式拓展、經典習題的巧思妙解等，在此與各位同仁共享。
第一章分式
問題一、分式內容的特別提示：
1．分式是分數的繼續與拓展，分數則是分式的特例，兩者有許多相似之處，因此，在學習中可運用模擬的思想，對照分數的有關知識來學習分式，這也是掌握本部分內容的有效方法．
2．當分式中的分母或分子含有新的分式時，要注意使分式有意義的字母的取值是使每個分數線下的式子均不為零．
3．分式中分母取值是受限制的，即分母的值不可以為零，如分式中，分子3x中的x可以取任何數，但分母中的y取值必須滿足2y + 7≠0 ，即y≠－．
4．在分式中，分子或分母同除以或同乘以乙個代數式時，可能會改變字母的取值範圍，因此，在做這類題目時，必須是對原分式討論，不要化簡後再討論．
5．應用分式的基本性質時，要深刻理解「都」與「同」這兩個字的含義，避免犯只乘分子或只乘分母的錯誤，也要避免只乘分子或分母中部分項的錯誤．
典型問題解析：
例1、當x為何值時，分式有意義？
解：由分式定義，(x－1)(x－2)≠0，即求得x≠1且x≠2，所以當x≠1且x≠2時，原分式有意義．
評析：判斷乙個分式有無意義，則取決於分式中的分母的取值是否為零，此時只需討論分母中的字母取值情況．但必須是對原分式討論，不要化簡後再討論．因為化簡後，分式中字母的取值範圍會發生變化．
例2、當x取什麼數時，分式的值為零？
解：因為當x≠－5時，分式才有意義．
當| x |－5 = 0時，得x = 5或 x =－5，而當注意到x≠－5時 ，所以當x = 5時，分式值為零．
評析：分式的值為零，首先是在分式有意義的條件下，只有這樣，才可以談分式的值是多少．也就是說，即當分母的值不為零的前提下討論問題．
例3、在分式中，a為常數，當x為何值時，該分式有意義？當x為何值時，該分式的值為零？
解：由x+ x－2 = 0，得(x－1)(x + 2) = 0，∴x = 1或x =－2 ．
∴當x≠1且x≠－2時，該分式有意義．
由x+ ax = 0，得x(x + a) = 0，即x = 0或x =－a．
當 a≠1且a≠－2時，則x = 0或x =－a時，該分式的值為零．
當a = 2或a =－1時，則x = 0時，該分式的值為零．
評析：在解題中用了兩個字「或」與「且」，它們所表達的含義完全不同，請認真體會．
例4、已知ab≠0，且+= 4，求的值．
解：在+= 4等式兩邊同乘以ab，得a + b = 4ab，
故===－．
評析：利用分式基本性質變形時，必須注意所乘的或所除的整式不能為零，運用整體代入法求值是本題的關鍵．
例5、 a為何值時， =成立．
解：∵ =，
當a≠1且a≠－3時，分式與都有意義．
當| a－1| = a－1時，由分式的基本性質可知： ==．
則| a－1| = a－1≥0，∴a≥1．
由a≥1再注意到a≠1且a≠－3的條件，當a＞1時， =成立．
評析：先討論a≠1且a≠－3很重要，這是應用分式基本性質的要求．
問題二、約束條件下分式求值如何求：
分式求值是代數式求值常見的題型之一，其基本解法是先化簡，再把字母的值代入計算．但在約束條件下的分式求值問題，這種方法不僅顯得笨拙呆板，而且常常是行不通的．因此，我們應學會如何根據約束條件式和求值式的特徵進行適當的變形、轉化和溝通．現將幾種常見的方法介紹如下．
1、求值式變形，條件式代入
例１ 已知x＋＝４，求的值．
分析：從已知求出x的值再代入計算顯然很繁．注意到求值式的分子、分母同時除以後可化為含x＋的結構形式，因此把求值式變形為＝＝＝．
2、條件式變形，輾轉代入
例２ 同例１．
分析：條件式去分母，化為－４x＋１＝０，根據需要可進一步變形為
＋１＝４x，＝４x－１等等．
從而＝＝＝．
3、條件式與求值式雙雙變形
例３ 設，求的值．
分析：a、b的關係不夠明朗，先把已知式去分母，化為b（a＋b）＋a（a＋b）＝５ab，即，兩邊除以ab，得；求值式顯然可化為含的形式，故＝＝９－２＝７．
4、代入消元法
例４ 設abc＝１，求的值．
分析：直接通分繁不勝繁，直接利用條件式abc＝１通分又常常會出現顧此失彼，而考慮運用消元法，消去a、b、c中的一元可克服這種現象．
由已知，得c＝，故
＝＝＝１．
5、拆分消項法
例５ 設 ｜ab＋２｜＋｜a＋１｜＝０，求的值．
解由題設得ab＋２＝０，a＋＝０．從而a＝－１，b＝－２．
∴ 求值式＝－
＝－（）
6、引數法
例６ 3a＝4b＝5c０，求的值．
解設3a＝4b＝5c＝60k,則a＝20k,b＝15k,c＝12k．
故求值式＝＝．
7、歸一法
例７ 已知3x－4y－ｚ＝０，2x＋ｙ－8z＝０，求的值．
解 x、ｙ統一用含ｚ的代數式表示．
由已知，得x＝3z,ｙ＝2z.故求值式＝＝１．
8、倒數法
例８ 設，求的值．
解由條件式得，即，故＝＝
＝ 所以求值式＝．
9、平方法
例９ 設，且a＞b＞０，求的值．
解：設＝x，則＝＝＝４．
問題三、什麼情況下分式方程無解
解分式方程一般情況下都是將分式方程轉化為整式方程，然後再求分式方程的解。有的分式方程有解，有的分式方程無解，分式方程無解可以從兩個角度進行考慮：
一是分式方程轉化為的整式方程無解；
二是分式方程轉化為的整式方程有解，但是這個解使分式方程的最簡公分母的值為0。
例題、關於x的分式方程無解，求m的取值。
分析：分式方程無解有兩種情況：一是去分母之後所得到的整式方程無解，二是去分母之後所得到的整式方程有解，但是這個解又使分式方程的最簡公分母的值為0，這時分式方程也無解。
所以要想根據分式方程無解來確定待定字母的取值，就必須考慮以上兩種情況。
解：原方程兩邊都乘以，約去分母得，
整理得。
第一種情況：當時，這個整式方程無解，所以當時，原方程無解。
第二種情況：對於方程，當時，3是原方程得增根，原方程無解，所以當時，即時，原方程無解。
所以當m的值為或者時，原方程無解。
第二章相似圖形
問題一、相似形中的開放性問題
開放性問題可以鍛鍊學生應用所學知識解決問題的能力，更是近年來中考中比較常見的題型，下面針對相似形中的開放性問題進行說明。
1、條件開放性
例題、如圖1，d、e分別是△abc的邊ab、ac上的點，請你新增乙個條件，使△abc與△aed相似。
分析：在△ade與△abc中，有乙個公共角∠a，根據三角形相似的條件，要使△ade∽△abc，可以有兩種新增方法：一是利用「兩角對應相等的兩個三角形相似」來判斷，只需要再找到另外一對角相等即可；二是利用「兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似」來判斷，只需要∠a的兩邊對應成比例即可。
解：只需新增條件：
①∠b＝∠aed；
②∠c＝∠ade；
③等。練習：如圖2所示，△abc中，ab＝ac，△def中，de＝df，要使△abc∽△def，還需要增加的乙個條件是什麼？（寫出你認為正確的乙個即可，不必考慮所有可能情況）。
2、結論開放性
例題、將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺成如圖3的樣子，假設圖形中的所有點、線都在同一平面內，那麼圖形中有相似（不包括全等）三角形嗎？如果有，把它們都寫出來。
分析：因為等腰直角三角板的兩個銳角都等於45°，所以∠ead＝∠b＝45°，∠dae＝∠c＝45°，利用這些已知角可以找出相似三角形。
解：∵∠ead＝∠b＝45°，∠aed＝∠bea，
∴△ade∽△bae。
∵∠dae＝∠c＝45°，∠ade＝∠cda，
∴△ade∽△cda。
∴∠dea＝∠dac。
∴∠bea＝∠dac。
∵∠b＝∠c＝45°，
∴△bae∽△cda。
即△ade∽△bae∽△cda。
練習：如圖4所示，在△abc中，ad、ce是兩條高，鏈結de。如果be=2，ea=3，ce=4，在不新增任何輔助線和字母的條件下，寫出正確的結論（要求：
分別為邊的關係、角的關係、三角形相似等等），並對其中乙個結論給於說明。
3、網格中的相似三角形
例題、如圖5，4×4的正方形方格中，△abc的頂點a、b、c在單位正方形的頂點上。請在圖中畫乙個△a1b1c1，使△a1b1c1∽△abc（相似比不為1），且點a1、b1、c1都在單位正方形的頂點上。
分析：可以先求出△abc的三邊的長，根據「三邊對應成比例，兩三角形相似」的判斷條件，設定乙個相應的相似比，再求出△a1b1c1的三邊的長，再畫出△a1b1c1。
解：在△abc中，ab＝，bc＝2，ac＝。
設相似比為或。
可得所求三角形的邊長分別為1、、或者2、、。
所以可以構造出不同的符合條件的三角形。如圖6中的△a1b1c1和△a2b2c2。
說明：當相似比確定後，△a1b1c1的形狀就確定了，但△a1b1c1可以有多個不同的位置。而設定不同的相似比，又可以得到不同的相似三角形。
另外，本題可以利用「兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似」的判斷條件來畫圖，從題目條件可知∠abc＝135°，所以只需把ab、bc的長求出，然後再設相似比即可求解。
問題二、在相似三角形的性質一節中，有這樣的問題情境：
某施工隊在道路拓寬施工時遇到這樣乙個問題，馬路旁原有乙個面積為100平方公尺、周長為80公尺的三角形綠化地。由於馬路的拓寬，綠地被削去了乙個角，變成了乙個梯形，原綠化地一邊ab的長由原來的30公尺縮短成18公尺。現在的問題是：
被削去的部分面積有多少？周長是多少？你能解決這個問題嗎？
（1）上面情境問題化為語言論述為：
已知：如圖，de∥bc，ab=30m，bd=18m，△abc的周長為80m，面積為100m2，求△ade的周長和面積？
解析：∵de∥bc ∴△ade∽△abc
∴ade周長＝＝32
又∵∴===16
拓展延伸，變式提高
上題中，過e作ef∥ab交bc於f，其他條件不變，則△efc的面積等於多少？平行四邊形bdef的面積為多少？
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