數列求和的基本方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差數列求和公式：
2、等比數列求和公式：
34、5、
[例1] 已知，求的前n項和.
解：由 由等比數列求和公式得利用常用公式）1－
[例2] 設sn＝1+2+3+…+n，n∈n*,求的最大值.
解：由等差數列求和公式得， （利用常用公式）
∴ 當，即n＝8時，
例3（07高考山東文18）設是公比大於1的等比數列，為數列的前項和．已知，且構成等差數列．
（1）求數列的等差數列．
（2）令求數列的前項和．
解：（1）由已知得解得．
設數列的公比為，由，可得．
又，可知，即，
解得．由題意得．
．故數列的通項為．
（2）由於由（1）得
， 又
是等差數列．
故．二、錯位相減法求和
這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用於求數列的前n項和，其中、分別是等差數列和等比數列.
[例3] 求和
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
[例4] 求數列前n項的和.
解：由題可知，{}的通項是等差數列的通項與等比數列{}的通項之積
設設制錯位）
①－②得錯位相減）
例2（07高考天津理21）在數列中，，其中．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）求數列的前項和；
（ⅰ）解：由，，
可得，所以為等差數列，其公差為1，首項為0，故，所以數列的通項公式為．
（ⅱ）解：設， ①
②當時，①式減去②式，得，．
這時數列的前項和．
當時，．這時數列的前項和．
例3（07高考全國ⅱ文21）設是等差數列，是各項都為正數的等比數列，且，，
（ⅰ）求，的通項公式；
（ⅱ）求數列的前n項和．
解：（ⅰ）設的公差為，的公比為，則依題意有且
解得，．
所以，．
（ⅱ）．
，①，②
②－①得，
．三、反序相加法求和
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將乙個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個.
[例5] 求證：
證明： 設
把①式右邊倒轉過來得
反序） 又由可得
①+②得反序相加）
[例6] 求的值
解：設…………. ①
將①式右邊反序得
反序）又因為①+②得反序相加）
＝89∴ s＝44.5
例4（07豫南五市二聯理22.）設函式的圖象上有兩點p1(x1, y1)、p2(x2, y2)，若,且點p的橫座標為.
（i）求證：p點的縱座標為定值，並求出這個定值；
（ii）若
（i）∵,且點p的橫座標為.
∴p是的中點，且
由（i）知，
，（1）+（2）得：
四、分組法求和
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然後分別求和，再將其合併即可.
[例7] 求數列的前n項和：，…
解：設將其每一項拆開再重新組合得
分組）當a＝1時分組求和）
當時，＝
[例8] 求數列的前n項和.
解：設 ∴ ＝
將其每一項拆開再重新組合得
sn分組）
＝分組求和）
例7數列的前n項和，數列滿.
（ⅰ）證明數列為等比數列；（ⅱ）求數列的前n項和tn。
解析：（ⅰ）由，
兩式相減得： ，
同定義知是首項為1，公比為2的等比數列.
（ⅱ）等式左、右兩邊分別相加得：
=例8求（）
解：⑴ 當為偶數時，
；⑵ 當為奇數時，
綜上所述，．
點評：分組求和即將不能直接求和的數列分解成若干個可以求和的數列,分別求和.
五、裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用. 裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的. 通項分解（裂項）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）(6)
[例9] 求數列的前n項和.
解：設裂項）
則裂項求和）
[例10] 在數列中，，又，求數列的前n項的和.
解： ∵
裂項）∴ 數列的前n項和
裂項求和）
[例11] 求證：
解：設裂項）
裂項求和）
＝∴ 原等式成立
例6（06高考湖北卷理17）已知二次函式的影象經過座標原點，其導函式為，數列的前n項和為，點均在函式的影象上。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數m；
解：（ⅰ）設這二次函式f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,則 f`(x)=2ax+b,由於f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因為點均在函式的影象上，所以＝3n2－2n.
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5.
當n＝1時，a1＝s1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（ⅱ）由（ⅰ）得知＝＝，
故tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的m,必須且僅須滿足≤，即m≥10，所以滿足要求的最小正整數m為10.
評析：一般地，若數列為等差數列，且公差不為0，首項也不為0，則求和：首先考慮則=。下列求和： 也可用裂項求和法。
六、合併法求和
針對一些特殊的數列，將某些項合併在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然後再求sn.
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：設sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
找特殊性質項）
∴sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90合併求和）
0[例13] 數列：，求s2002.
解：設s2002＝
由可得……
找特殊性質項）
∴ s2002合併求和）
＝＝＝＝5[例14] 在各項均為正數的等比數列中，若的值.
解：設由等比數列的性質找特殊性質項）
和對數的運算性質得
（合併求和）
＝＝＝10七、利用數列的通項求和
先根據數列的結構及特徵進行分析，找出數列的通項及其特徵，然後再利用數列的通項揭示的規律來求數列的前n項和，是乙個重要的方法.
[例15] 求之和.
解：由於找通項及特徵）
∴分組求和）＝＝
＝[例16] 已知數列：的值.
解：∵ （找通項及特徵）
設制分組）
裂項）∴ （分組、裂項求和）
說明：本資料適用於高三總複習，也適用於高一「數列」一章的學習。
必修5 數列求和方法 裂項求和
班級姓名學號 題型一 錯位相消法，滿足題型 步驟計算 計算 題型二 定義公式求等差，等比數列的前項和 題型三 裂項求和 1.求和 2.求和 3.求和 4.求和 因為，5.已知，求前項的和.解析 6.求數列的前n項和.解 設則 7.數列 1，求它的前n項和.解 an 2 sn a1 a2 an 2 1...
數列求和的基本方法
數列是高中代數的重要內容，數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧.一 利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.1 等差數列求和公式 2 等比數列求和公式 34 5 例1 例1 求數列，的前n項和。解 1...
數列求和的基本方法
一 公式法 利用等差 等比數列的前n項和公式進行求和 例1 等比數列中，求數列的前n項和 二 週期轉化法 如果乙個數列具有週期性，那麼只要求出了數列在乙個週期內各項的和，就可以利用這個和與週期的性質對數列的前n項和進行轉化合併 例2 已知數列中，求的值 三 分類轉化法 對於一些 擺動 型 項按一定的...