作業12 真空中靜電場的強度
12-1 關於電場強度定義式，下列說法中哪個是正確的？[ b ]
(a) 場強的大小與試探電荷的大小成反比．
(b) 對場中某點，試探電荷受力與的比值不因而變．
(c) 試探電荷受力的方向就是場強的方向．
(d) 若場中某點不放試探電荷，則= 0，從而= 0．
12-2 在電場中某點p放入試探電荷，測得電場力為，則該點的場強為；若放入另一試探電荷，測得電場力為，則該點的場強為[ c ]．
(a)； (b)； (c)；(d) 0；．
(原3題變) 解：試探電荷不影響場強，但影響其自身的受力．
12-3 電子所帶電量最先是由蜜立根通過油滴實驗測定的．其原理是：乙個很小的油滴處在勻強電場內，調節電場強度，是作用在油滴上的作用力與油滴的重力平衡．如果油滴的半徑為1.64 × 10-4 cm，油密度為0.
851 × 103 kg/m3，
平衡的電場強度為1.92 × 105 v/m．則油滴上的電量 q = 8.02 × 10-19 c．
解：→→=…= 8.02 × 10-19 c
12-4 兩個間距為r的正電荷q1與q2 ，如圖所示，在引入乙個電荷q3 後，三個電荷處於平衡狀態，則q3位於q1與q2連線之間 (填「間」或「外」)；q3與q1的距離為r13 = ，q3的電量為q3 = .
(原2題) 解：取向右為正
，， 而 ，，解得：……
12-5 在正方形的兩個相對的角上各放乙個點電荷q，在其他兩個相對的角上各放乙個點電荷q，如果作用在q上的力為零，則q與q的關係為
q原6題）
解：,12-6 把某一電荷分成q與 (q-q) 兩個部分，且此兩部分相隔一定距離，如果使這兩部分有最大庫侖斥力，則q與q的關係為：q =
解：， 令， 即 ， 解得
12-7 半徑為r，長度為l的均勻帶電圓柱面，其單位長度帶電量為，在帶電圓柱的中垂面上有一點p，它到軸線距離為r（r r），則p點的電場強度的大小：當r l時，e = ；當r l時，e = ．
（原11題）解：r
12-8 如圖所示，一根細玻璃棒被彎成半徑為r的半圓周，沿其上半部分均勻分布有電荷，沿其下半部分均勻分布有電荷，求半圓中心o點的場強．
(原8題)
解: 建立座標系xoy，相對於x 軸對稱分布的正負電荷元產生的場強的x分量將相互抵消，y分量相等且沿y負向,
而∴向下12-9 用不導電的塑料棒彎成乙個半徑為50.0 cm，兩端間空隙為2.0 cm的環，電量為3.12×10-9c的正電荷均勻分布在棒上，求環心處場強的方向和大小．
（原7題）解：（補償法），缺口帶電圓環可視為在帶電整圓環對應處加上電量的帶電**，如下圖示
則 ∵ 均勻帶電圓環圓心o處 e = 0 ，而(半徑) ∴可視為點電荷
∴ 而
∴ = -0.715(v/m)，指向空隙．
12-10 電量q ( q > 0 ) 均勻分布在長為2l的細棒上，在細棒的延長線上距細棒中心o距離為x的p點處放一帶電量為q ( q > 0 )的點電荷，求帶電細棒對該點電荷的靜電力．
解：建立如圖所示的座標系，
在帶電直線上取電荷元
它在p點產生的電場強度的大小為
且各均同向(向右)．
∴點電荷受力：
的方向：在帶電直線延長線上，遠離o點．
12-11 半徑為r的帶電細圓環，線電荷密度，為常數，為半徑r與x軸夾角，如圖所示，求圓環中心o處的電場強度．
（原10題）
解：∵電荷相對於x 軸對稱，
∴ o點處的合場強必沿 x 軸．
取而∴沿 x 軸負方向
12-12 在乙個很大的均勻帶電（面電荷密度為0）平面的中部開乙個半徑為r的小圓孔，求通過小圓孔中心o並與平面垂直的直線上p點的電場強度．
(原18題)
解: 【不要用補償法！】
以o點為原點，取x軸垂直於帶電平面，
並在帶電平面上取極座標系，如圖所示．
則面元 ∴
由對稱性可知:
∴沿 x 軸背離平面
12-13 關於高斯定理的理解有下面幾種說法，其中正確的是：[ d ]
(a) 如果高斯面上處處為零，則該面內必無電荷．
(b) 如果高斯麵內無電荷，則高斯面上處處為零．
(c) 如果高斯面上處處不為零，則高斯麵內必有電荷．
(d) 如果高斯麵內淨電荷不為零，則通過高斯面的電通量必不為零．
(e) 高斯定理僅適用於具有高度對稱性的電場．
12-14 如圖所示，閉合曲面s內有一點電荷q，p為s面上一點，在s麵外a點有一點電荷，若將移至b點，則 [ b ]
(a) 穿過s面的電通量改變，p點的電場強度不變；
(b) 穿過s面的電通量不變，p點的電場強度改變；
(c) 穿過s面的電通量和p點的電場強度都不變；
(d) 穿過s面的電通量和p點的電場強度都改變．
解：穿過閉合曲面的電通量與麵外電荷無關，p點的電場強度由內外電荷決定.
12-15 有兩個點電荷電量都是 +q相距為2a，今以左邊的點電荷所在處為球心，以a為半徑，作一球形高斯面．在球面上取兩塊相等的小面積s1、s2．其位置如圖所示．設通過s1、s2的電場強度通量分別為、，通過整個球面的電場強度通量為，則 [ d ]
(a)，；
(b)，；
(c)，；
(d)，．
(原13題)
12-16 ⑴ 點電荷q位於邊長為a的立方體中心，通過此立方體的每一面的電通量各是多少？⑵ 若電荷移至立方體的乙個頂點上，通過每個面的電通量又各是多少？
(原14題)
解: ⑴∵6個全等的正方形組成乙個封閉面，∴
⑵ 該頂點可視為邊長等於2a的大立方體的中心，
通過每個大麵的電通量為
∴對於小立方體而言，不過該頂點的三個小面上的電通量為：
而通過該頂點的另三個小麵的電通量為0.
12-17 半徑 r 的球形帶電體，體電荷密度為（a為常數），總帶電量為q，求球內外各點的場強分布．
解：∵ 電荷分布呈球對稱性，∴分布也球對稱，
即：，且同一球面上各點e相等．
作半徑 r 的同心球面為高斯面 s，則：
由高斯定理
⑴ 當 r ≤r 時，，而(薄球殼層體積元)
∴ ∴⑵ 當 r > r 時，
∴12-18 半徑 r 的無限長圓柱形帶電體，體電荷密度為（a為常數），求圓柱體內外各點的場強分布．
解：∵電荷分布具∞長軸對稱性，∴分布也具∞長軸對稱性．作半徑r高l的同軸封閉圓柱面為高斯面，則
由高斯定理
⑴ 當 0 < r < r（在圓柱體內）時，
∴⑵當（在圓柱體外）時，
∴12-19 如圖所示，在半導體pn結附近總是堆積著正、負電荷，n區內是正電荷，p區內是負電荷，兩區內的電量相等．把pn結看做一對帶正、負電荷「無限大」平板，它們相互接觸．x軸方向垂直於板麵，原點取在pn結的交接面上．n區的範圍是 –xn ≤ x ≤0；p區的範圍是0 ≤ x ≤xp．設兩區內電荷分布都是均勻的，它們的體電荷密度分別為，n區：，p區：，這種分布稱為實變形模型，其中nd和na都是正的常數，且有xn nd = xp na (兩區內的電荷數量相等)．
⑴ 求電場強度分布；
⑵ 畫出和隨x的變化曲線．
解：⑴ 解法一：疊加法：將帶電區域分割成厚度為dx的「無限大」薄平板，它在空間產生的電場強度的大小為 ，薄板帶正電時，垂直於薄板向外；薄平板帶負電時，垂直於薄平板向內．
在n區（– xn≤x≤0）內任意一點的電場強度為：
∵ xn nd = xp na ，∴ 向右；
在p區（0≤ x ≤ xp）內任意一點的電場強度為：
向右在n左區（x ≤ – xn）內任意一點的電場強度為：
= 0在p右區（x≥ xp）內同理有 0
⑵和隨x的變化曲線見圖．
解法二：運用高斯定理
∵ pn結可視為一對帶等量正、負電荷的「無限大」平板，∴各處// x軸．
作乙個兩底均在pn結之外的封閉柱面為高斯面s1，
∵，由高斯定理，，而s1外左右側無電荷分布，
∴無電力線穿過s1，即pn結之外 e(x) = 0 .
另作兩個高斯面s2和s3（見如圖），
在n區內：
得 ，向右
在p區內：同理有，向右
*12-20 氫原子是乙個中心帶正電的電量為e的原子核（可視為點電荷），核外是帶負電的電子雲，在正常狀態時，電子雲的電荷分布密度是球對稱的：
式中a0為常數（玻爾半徑）．試求原子電場強度大小的分布．
【 數學公式：
解：∵ 電荷分布呈球對稱性，∴分布也球對稱．以原子核為球心，作半徑 r 的球形高斯面 s．
由高斯定理
令高斯麵內包圍的電子雲的電量為，則
於是而∴作業14 靜電場中的導體
14-1 當乙個帶電導體達到靜電平衡時, [ d ]
(a) 表面上電荷密度較大處電勢較高．
(b) 表面曲率較大處電勢較高．
(c) 導體內部的電勢比導體表面的電勢高．
(d) 導體內任一點與其表面上任一點的電勢差等於零．
14-2 兩個同心薄金屬球殼，半徑分別為和（<）,若分別帶上電量和的電荷，則兩者的電勢分別為和（選無窮遠處為電勢零點）．現用導線將兩球殼連線，則它們的電勢為 [ b ]
(a) (b) (c) (d)
解：用導線將兩球殼連線前後電荷分布如圖所示，由高斯定理易知，兩種情況下外球殼以外空間的電場強度不變，均為
，∴ 14-3 一任意形狀的帶電導體，其面電荷密度分布為，則在導體表面外附近任意點處的電場強度的大小其方向______垂直於導體表面________．
14-4 假定從無限遠處陸續移來微量電荷使一半徑為r的導體球帶電．當球已帶有電荷q時，再將乙個電荷元dq從無窮遠處移到球上的過程中，外力作功
使球上電荷從零開始增加q的過程中，外力共作功
原2題14-5 兩個帶電量分別為 +q、-q的兩金屬球，半徑為r，兩球心的距離為d，且d > 2r其間的作用力設為f1，另有兩個帶電量相等的點電荷+q、-q，相距也是 d，其間作用力設為f2，可以肯定f1 > f 2 ( 填< , > 或 = )．
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