習題11-1. 已知質點位矢隨時間變化的函式形式為
其中為常量．求：（1）質點的軌道；(2)速度和速率。
解：1） 由知
消去t可得軌道方程
2）1-2. 已知質點位矢隨時間變化的函式形式為，式中的單位為，的單位為.求：（1）質點的軌道；（2）從到秒的位移；（3）和秒兩時刻的速度。
解：1）由可知
消去t得軌道方程為：
2）31-3. 已知質點位矢隨時間變化的函式形式為，式中的單位為，的單位為.求：（1）任一時刻的速度和加速度；（2）任一時刻的切向加速度和法向加速度。
解：1）
2）1-4. 一公升降機以加速度上公升，在上公升過程中有一螺釘從天花板上鬆落，公升降機的天花板與底板相距為，求螺釘從天花板落到底板上所需的時間。
解：以地面為參照系，座標如圖，公升降機與螺絲的運動方程分別為
1） 圖 1-4
2）3）
解之1-5. 一質量為的小球在高度處以初速度水平丟擲，求：
（1）小球的運動方程；
（2）小球在落地之前的軌跡方程；
（3）落地前瞬時小球的，，.
解：（1式（1）
式（2）
（2）聯立式（1）、式（2）得
（3） 而落地所用時間
所以1-6. 路燈距地面的高度為，一身高為的人在路燈下以勻速沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運動，並求其速度.
證明：設人從o點開始行走，t時刻人影中足的座標為 ，人影中頭的座標為，由幾何關係可得圖 1-6
而所以，人影中頭的運動方程為
人影中頭的速度
1-7. 一質點沿直線運動，其運動方程為(m)，在 t從0秒到3秒的時間間隔內，則質點走過的路程為多少？
解： 若解的
1-8. 一彈性球直落在一斜面上，下落高度，斜面對水平的傾角，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點多遠(假設小球碰斜面前後速度數值相等，碰撞時人射角等於反射角
解：小球落地時速度為,以小球第一次落地點為座標原點建立直角座標系，如圖
1（2）第二次落地時
所以1-9. 地球的自轉角速度最大增加到若干倍時，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球?已知現在赤道上物體的向心加速度約為，設赤道上重力加速度為.
解：赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足
現在赤道上物體
1-10. 已知子彈的軌跡為拋物線，初速為，並且與水平面的夾角為.試分別求出拋物線頂點及落地點的曲率半徑。
解：在頂點處子彈的速度，頂點處切向加速度為0。
因此有：
在落地點速度為
1-11. 飛機以的速度沿水平直線飛行，在離地面高時，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標上，問：投放物品時，駕駛員看目標的視線和豎直線應成什麼角度?此時目標距飛機下方地點多遠?
解：設此時飛機距目標水平距離為有：
聯立方程解得：
1-12. 設將兩物體和分別以初速和拋擲出去．與水平面的夾角為；與水平面的夾角為，試證明在任何時刻物體相對物體的速度是常向量。
解：兩個物體在任意時刻的速度為
與時間無關，故相對物體的速度是常向量。
1-13. 一物體和探測氣球從同一高度豎直向上運動，物體初速為，而氣球以速度勻速上公升，問氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測得物體的速度各多少？
物體在任意時刻的速度表示式為
故氣球中的觀察者測得物體的速度
代入時間t可以得到第二秒末物體速度
第三秒末物體速度
第四秒末物體速度
1-14. 質點沿在軸向運動，加速度，為常數．設從原點出發時速度為，求運動方程.
解1-15. 跳水運動員自跳台自由下落，入水後因受水的阻礙而減速，設加速度，.求運動員速度減為入水速度的10%時的入水深度。
解：取水面為座標原點，豎直向下為軸
跳水運動員入水速度
1-16. 一飛行火箭的運動學方程為：，其中b是與燃料燃燒速率有關的量，為燃氣相對火箭的噴射速度。求：（1）火箭飛行速度與時間的關係；（2）火箭的加速度。
解：（1）
（2）1-17. 質點的運動方程為：式中為正的常量。求：（1）質點運動的軌道方程；（2）質點的速度大小；（3）質點的加速度大小。
解：（1）軌道方程為
這是一條空間螺旋線。
在o平面上的投影為圓心在原點，半徑為r的圓，螺距為h
（2）（3）思考題1
1-1. 質點作曲線運動，其瞬時速度為，瞬時速率為，平均速度為，平均速率為，則它們之間的下列四種關係中哪一種是正確的?
（1）；（2）；（3）；（4）
答： （3）
1-2. 質點的關係如圖，圖中，，三條線表示三個速度不同的運動．問它們屬於什麼型別的運動?哪乙個速度大？哪乙個速度小？
答：1-3. 結合圖，說明平均加速度和瞬時加速度的幾何意義。
答：平均加速度表示速度在時間內的平均變化率，它只能粗略地反映運動速度的變化程度和方向，而瞬時加速度能精確反映質點運動速度的變化及方向。
1-4. 運動物體的加速度隨時間減小，而速度隨時間增加，是可能的嗎？
答：是可能的。加速度隨時間減小，說明速度隨時間的變化率減小。
1-5. 如圖所示，兩船和相距，分別以速度和勻速直線行駛，它們會不會相碰?若不相碰，求兩船相靠最近的距離．圖中和為已知。
答：方法一如圖，以a船為參考係，在該參考係中船a是靜止的，而船b的速度
是船b相對於船a的速度,從船b作一條平行於方向的直線bc,它不與船a相交,這表明兩船不會相碰.
由a作bc垂線ac,其長度就是兩船相靠最近的距離
作fd//ab,構成直角三角形def,故有
在三角形bef中,由餘弦定理可得
方法二：
兩船在任一時刻的位置向量分別為
任一時刻兩船的距離為
令1-6. 若質點限於在平面上運動，試指出符合下列條件的各應是什麼樣的運動？
（1），；（2），；（3），
答: (1) 質點作圓周運動.
2) 質點作勻速率曲線運動.
3) 質點作拋體運動.
1-7. 一質點作斜拋運動，用代表落地時，.
（1）說明下面三個積分的意義：
.（2）用和代表拋出點和落地點位置，說明下面三個積分的意義：
. 答:（1） 表示物體落地時x方向的距離；
表示物體落地時y方向的距離；
表示物體在時間內走過的幾何路程；
（2） 表示拋出點到落地點的位移；
表示拋出點到落地點位移的大小；
表示拋出點到落地點位移的大小。
習題22-1. 質量為的子彈以速度水平射入沙土中，設子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例係數為，忽略子彈的重力，求：(1) 子彈射入沙土後，速度隨時間變化的函式式；(2) 子彈進入沙土的最大深度。
解：（1）由題意和牛頓第二定律可得：，
分離變數，可得： 兩邊同時積分，所以：
（2）子彈進入沙土的最大深度也就是v=0的時候子彈的位移，則：
由可推出：，而這個式子兩邊積分就可以得到位移： 。
2-2. 一條質量分布均勻的繩子，質量為、長度為，一端拴在豎直轉軸oo′上，並以恆定角速度在水平面上旋轉．設轉動過程中繩子始終伸直不打彎，且忽略重力，求距轉軸為r處繩中的張力t( r)．
解：在繩子中距離轉軸為r處取一小段繩子，假設其質量為dm，可知：，分析這dm的繩子的受力情況，因為它做的是圓周運動，所以我們可列出： 。
距轉軸為r處繩中的張力t( r)將提供的是r以外的繩子轉動的向心力，所以兩邊積分：
2-3. 已知一質量為的質點在軸上運動，質點只受到指向原點的引力作用，引力大小與質點離原點的距離的平方成反比，即，是比例常數．設質點在時的速度為零，求質點在處的速度的大小。
解：由題意和牛頓第二定律可得：
再採取分離變數法可得： ，
兩邊同時取積分，則：
所以：2-4. 一質量為的質點，在平面上運動，受到外力(si)的作用，時，它的初速度為(si)，求時質點的速度及受到的法向力.
解：由題意和牛頓第二定律可得：，代入f與v，並兩邊積分，，
速度是方向，也就是切向的，所以法向的力是方向的，則
2-5. 如圖，用質量為的板車運載一質量為的木箱，車板與箱底間的摩擦係數為，車與路面間的滾動摩擦可不計，計算拉車的力為多少才能保證木箱不致滑動？
解：根據題意，要使木箱不致於滑動，必須使板車與木箱具有相同的加速度，所以列式：
可得：2-6. 如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦係數為。為使木塊相對斜面靜止，求斜面加速度的範圍。
解：在斜面具有不同的加速度的時候，木塊將分別具有向上和向下滑動的趨勢，這就是加速度的兩個範圍，由題意，可得：
（1）當木塊具有向下滑動的趨勢時（見圖a），列式為：
可計算得到：此時的
（2）當木快具有向上滑動的趨勢時（見圖b），列式為：
可計算得到：此時的
所以2-7. 一質量為m、頂角為的三角形光滑物體上。放有一質量為m的物塊，如圖所示。
設各面間的摩擦力均可忽略不計。試按下列三種方法：（1）用牛頓定理及約束方程；（2）用牛頓定律及運動疊加原理；（3）用非慣性係中力學定律；求解三角形物塊的加速度.
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