2001 aime1
1、 求所有這樣的兩位數之和，它們滿足能被其中任意數碼整除.
2、 不同實數的有限集滿足如下性質：的平均數比的平均數小13，且的平均數比的平均數大27，求的平均數.
3、 找出方程的所有根，包括實根與虛根，假定方程沒有復根.
4、 在中，.的角平分線交於點，且.的面積可以寫成，其中都是正整數，且不能被任何素數的平方整除.求.
5、 橢圓中內接一等邊三角形，它的乙個頂點座標是，乙個高在軸上，且每條邊的長可寫成，其中是互質的正整數.求.
6、 擲篩子四次，後三次的點數總不比前面的點數小的概率可以表示為，其中是互質的正整數.求.
7、 在中，和.點和點分別在與,使得平行於且通過的內心.此時，其中是互質的正整數.求.
8、 如果乙個十進位制數在七進製下的結果是的2倍，就把它叫做7-10雙倍數.例如51是7-10雙倍數，因為它在七進製下的結果是102.求最大的7-10雙倍數.
9、 在中，和.點、點和點分別在、和.設和，其中都是正數，且滿足，.與的面積之比可以寫成的形式，其中是互質的正整數.求.
10、設點集的座標都是整數且滿足.從中隨機抽取兩個不同點，則二者的中點仍在中的概率為，其中是互質的正整數.求.
11、在點陣中，這些點從左到右、從上到下依次編號(如第一行的序號是從1到，第二行的序號是從到，等等).從第行中任意抽取一點，這樣我們選擇了5個點和.設對應數.
現在從第一列開始重新對點進行從左到右的編序，這時設對應數是.我們發現規律且.求的最小可能值.
12、乙個球內切於頂點分別是和的四面體.球的半徑是，其中是互質的正整數.求.
13、在某個特定的圓中，角度為d的弧對應的弦長是22厘公尺，角度為2d的弧對應的弦長比角度為3d的弧對應的弦長大20厘公尺，其中.角度為3d的弧對應的弦長可以表示為厘公尺，其中是互質的正整數.求.
14、郵遞員要給街道上的19個房子送郵件.他發現沒有兩個相鄰的房子在同一天都收到郵件，且連續多於兩個的房子必定會有乙個房子收到郵件.求有多少種可能郵遞的方法?
15、數1,2,3,4,5,6,7和8隨機的寫在正八面體的8個面上，使得每個面上的數都不相同.則不相鄰的兩數共用乙個邊的概率是，其中是互質的正整數.求.
答案1、 答案 630
用表示滿足題目條件性質的十位數，表示個位數，故，推出.前乙個條件成立須滿足，其中是某一正整數.後一條件暗含著.
因此滿足條件的兩位數是11，22，33，...，90，12，24，36，48和15.求和結果為.
2、 答案 651
設含有個元素的集合的平均值是.故
和即： 和 .
二者相減得，故.因此.
3、 答案 500
應用二項式定理
根據根的和的公式得到.
4、 答案 291
注意到角與角都是，因此。作三角形的高.故三角形的各角為，三角形的各角.
.故三角形的面.
5、 答案 937
設三角形的另外兩個頂點分別是、，其中.通過和的直線與軸成，且斜率是.因此，直線的方程是.把方程式代入橢圓的方程式中，化簡得到
或者 .
三角形的邊是，故.
6、 答案 079
擲4次篩子後出現的每種可能性的概率是.考慮擲四次篩子出現的數值，只有一種滿足題目要求.故我們只需計算擲篩子4次出現的數值的所有集合，允許出現相同數值的情況.
這就等價於求把4個小球放進6個帶有標籤的盒子中(從1到6)的方法數，即.因此滿足條件的概率是，故
7、答案 923
假設是三角形的內心，因此分別平分角.因為平行於，故，故.因此，三角形的周長是.三角形相似於三角形，相似比就等於周長之比，故
.把數值代入上式，得，故.
8、 答案 315
假設是乙個7-10雙倍數，其中.換句話說
是上式的2倍.因此
.因為在上式中只有當時，的係數為負，其它的都不為負，故至少為2.當時，的係數至少是314，又因為總不超過6，故.
為了得到最大的7-10雙倍數，嘗試當.從方程中得到使的最大值的解.因此最大的7-10雙倍數是.
9、 答案 061
用代表三角形的面積.因為都比1小，故
.又因為
故比率是，所以.
10、 答案 200
因為共有個點可供選擇，故有種選擇兩點的不同方式.為了使選擇的兩點決定的中點也是乙個格點(如果中的點的座標都是整數，就稱它們是格點)，我們只需證明兩點的座標具有相同的奇偶性.注意到
個點的座標全為偶數
個點的座標全為奇數
個點，只有座標為奇數
個點，只有座標為奇數
個點，只有座標為奇數
個點，只有座標為偶數
個點，只有座標為偶數
個點，只有座標為偶數，
故滿足題目條件的線段共有
，因此要求概率是.故.
11、 答案 200
設在第行第列.故，，
又因為的選擇滿足題目中的規律，故
用前兩個等式消去，得到.故,其中.接著用剩下的不等式消去和，得到.
對進行替換，得，故.換句話說，對某個正整數，，即.因此，故的最小值是2，因此的最小可能值是6，故.
我們不難檢驗
是這些點可能的分布值.因此這些點對應的數值分別是.
評注：利用模算術可以簡化題目的解答.
12、答案 005
設是內接球的半徑.因為四面體可以被分割成四個小四面體，它們的公共點是內心，高為，以四面體的每個面為底，故倍的四面體的表面積就等於3倍的四面體四面體的體積.為了求出三角形的面積，首先計算和.
接著應用餘弦定理得到，故，所以三角形的面積.四面體的表面積是
.四面體的體積是.因此.
13、答案 174
設角度為d的弧對應的弦長為，角度為2d的弧對應的弦長為，角度為3d的弧對應的弦長為，且.設，因為，四邊形是等腰梯形，故.根據托勒密定理，得到即故
因此，.
14、答案 351
考慮由0或者1組成的數字的串，0和1分別代表沒有收到郵件和收到郵件.題目是要求我們求出不包含有11和000的串的個數.數字的串中最後兩位數不能是11，可以是00、01、10.
設代表以00結尾的串的個數，設代表以01結尾的串的個數，設代表以10結尾的串的個數.如果數字的串以00結尾，則00前面的數字一定是1，且數字的串的最後兩位將是10，所以.如果數字的串以01結尾，則01前面的數字可以是1也可以是0，且數字的串的最後兩位將是00或10，所以.
如果數字的串以10結尾，則10前面的數字一定是0，且數字的串的最後兩位將是01，所以.顯然，，利用遞推等式和初始值，我們可以計算出.
15、答案 85
隨機選擇八面體中的乙個面，並標上標籤1，我們把與這個面相鄰的另外三個麵叫a面.與a面相鄰的另外三個麵叫b面.與b面相鄰的另乙個麵叫c面.
顯然，a面上的數字只可能是，故對a面標數字共有種方式.b面和c面上的數字只能是對a面標數後剩下的數加上2和8.且c面上的數字不能與b面上的任乙個數字相鄰.
我們很容易計算出剩下的4個數只能組合出10種可能性：
2348(2678):8(2)是唯一乙個不與其他數字相鄰的，故用它來標c面.4(6)只能標b麵中的某一固定面，然而2與3(7與8)可以隨機的標另外兩個面.故有兩種可能性.
2358(2578):5不能用來標b面，故只能標c面.3和8(2和7)只有一種情況標b面滿足條件.故有一種可能性.
2368(2478):6(4)不能用來標b面，所以只能標c面.3和8(2和7)只有一種情況標b面滿足條件，故有一種可能性.
2458(2568):它們只能有乙個用來表b面，2和4(6和8)可以標相同的面，但必須有乙個標c面.只有2(8)不與其他任何數字相鄰，故它用來標c面，故只有一種可能性.
2378:它們中任何乙個數字都不能標c面，否則將與b面的數字相鄰.這種情況不可能存在.
2468:4和6不能用來標b面.它們也不能都用來標c面，故這種情況不可能存在.
所以，在給定八面體中標出數字1後，共有10種可能存在的情況，每種情況又有種不同的排列方式，所以總共有60種方式符合題目條件.然而有種隨機標數字的情況.所以概率為.答案是085.
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