2006/7/12 溫州市
1．師說：「要在乙個三邊長為2，2，2x的三角形內部放置乙個盡可能大的圓，則正實數x的值該是多少？」
學生a說：「我想x＝1.」
學生b說：「我認為.」
學生c說：「你們回答都不對！」
他們三人誰的回答是正確的？為什麼？
解答：一方面三角形的面積＝；另一方面，該三角形底邊上的高為，所以三角形面積.可得.
當時，； 當時，.
取，則，所以是乙個更好的選擇.所以學生c的回答正確.
注：當時，可取到r的最大值.
2．乙個三角形可被剖分成兩個等腰三角形，原三角形的乙個內角為36，求原三角形最大內角的所有可能值.
解答：不妨設b＝36 .
（1）若剖分線不過點b.不妨設剖分線為ad，此時△bad是或者的三角形.
若△bad是的三角形，則△cad或者是第乙個圖，或者是第二個圖，或者第
三、四個圖.
（2） 若剖分線過點b.不妨設為be，則△cbe必定是，△abe是的三角形.
所以原三角形的最大內角可能是.
3． 四個單位正方形以邊對邊相連線而成，可以拼成如圖五種不同的形狀.用一片「l」形（圖中第乙個）分別與其餘四個中的一片拼成軸對稱圖形，請繪出所有可能之組合.
解答：4．一片骨牌是由兩個單位正方形以邊對邊相連線而成，在每個正方形內標記上數字1、2、
3、4或5，所以我們共可得標號為11，12，13，14，15，22，23，24，25，33，34，35，44，45，55的15片不同的骨牌.將這15片骨牌排成乙個如圖的5×6的長方形，每片骨牌的邊界已經擦除，請試著把這些骨牌的邊界重新畫出來.
解答：首先，注意到編號為55的骨牌一定是在矩形的中心，而編號22的骨牌只能是在右邊界處.此時，右上角編號為3的骨牌必與右側的2一起組成編號為23的骨牌..
所以，右下角的2只能與5一起組成編號為25的骨牌，而這個2上面的3只能組成33骨牌..所以，可在圖中，把剩下的33、23對之間用一條線分隔.第三行的3只能與其上的5組成35編號的骨牌.
如左圖.
這時，第一行的5不能與其左側的3組成35編號的骨牌，只能與其下的1組成編號為15的骨牌.這使得左側只能為13、34編號的骨牌，這樣，左上角的骨牌為11和24.
在右下角，必須出現編號為12的骨牌，此時，其餘的骨牌也就確定了.
5．「幸運數」是指乙個等於其各位數碼（十進位制）和的19倍的正整數，求出所有的幸運數.
解答：設10 a＋b是乙個至多兩位數，方程 10 a + b = 19 (a + b) 僅當 a = b = 0時成立.所以，所有的幸運數至少是三位數.
假設乙個幸運數有m位數，，則該數至少為，其數碼和至多為 9m，所以，.
當 m = 4時，不成立.而，更不成立.因此，所有的幸運數都是三位數，由100a + 10b + c = 19a + 19b + 19c，知 9a = b + 2c.
當 a = 1時，可得 (b，c) = (1，4)，(3，3)，(5，2)，(7，1)，(9，0).
當 a = 2時，可得 (b，c) = (0，9)，(2，8)，(4，7)，(6，6)，(8，5).
當 a = 3時，可得 (b，c) = (9，9).
當 a > 3時，無解.
所以共有 11 個幸運數： 114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247, 266, 285 和 399.
6．甲和乙在乙個nn的方格表中做填數遊戲，每次允許在乙個方格中填入數字0或者1（每個方格中只能填入乙個數字），由甲先填，然後輪流填數，直至**中每個小方格
內都填了數.如果每一行中各數之和都是偶數，則規定為乙獲勝，否則當作甲獲勝.
請問： （1）當n＝2006時，誰有必勝的策略？
（2）對於任意正整數n，回答上述問題.
解答：（1）當n=2006時，後填數的乙有必勝策略.用12的多公尺諾骨牌對**進行分割，使得每一行都由1003塊多公尺諾組成，當甲對某塊多公尺諾的乙個中填數時，乙也在該多公尺諾中填數，並且使得這塊多公尺諾中兩個數之和為偶數.
依此策略，乙可以使得**的每一行中各數之和都是偶數.故乙獲勝.
（2）當n為偶數時，同上述操作，可知乙有必勝策略；當n為奇數時，甲有必勝策略：他可以先在第1行第1列的方格中寫上1，然後對第1行中其餘方格作前面的多公尺諾分割，採取同樣的操作方式，可使**中第1行中各數之和為奇數.
7．設n為任意奇正整數，證明： +能被2006整除.
證明：因為，所以為證結論成立，只需證為奇正整數時，能被2，17，59整除.顯然，表示式能被2整除.
應用公式，為奇數時，，.
則由於，，所以
能被59整除.
又1596－270＝1326＝17×78，1000－320＝680＝17×40，所以能被17整除.
故結論成立.
8．將正整數中所有被4整除以及被4除餘1的數全部刪去，剩下的數依照從小到大的順序排成乙個數列：2, 3, 6, 7, 10, 11, … .
數列的前n項之和記為，其中n=1, 2, 3, ….
求s=的值.（其中表示不超過x的最大整數）
解答：易知，，，因此
，，所以
故，，從而，於是
.9．平面上，正三角形abc與正三角形pqr的面積都為1.
三角形pqr的中心m在三角形abc的邊界上，如果
這兩個三角形重迭部份的面積為s，求s的最小值.
解答：在正△pqr的三個頂點處截去三個全等的正
三角形，得到乙個面積為的正六邊形，則m是這個
正六邊形的中心.
若點m與△abc的乙個頂點重合，如左圖，易知正六邊形
和△abc的重迭部分面積是.在中間的圖形中，把△abc繞著點m順時針旋轉，則始邊所掃過的三角形和終邊所掃過的三角形全等，所以兩個三角形的公共部分面積是不變的.
若點m在△abc的邊上，不妨設在bc上，且靠近點c，如右圖所示.，過點m作ac的平行線mn，交邊ab於點n，則△bmn是正三角形..因為，bm和mn都與正六邊形相交，所以△bmn與正六邊形的公共部分面積為.
當把正六邊形恢復成原來的正三角形時，公共部分面積不會減小.，所以兩個三角形公共部分面積的最小值為，如左圖.
10．設m是乙個小於2006的四位數，已知存在正整數n，使得m－n為質數，且mn是乙個完全平方數，求滿足條件的所有四位數m.
解答由題設條件知：m－n=p，p是質數，則m=n+p，設mn=n(n+p)=，其中x是正整數，那麼，即
於是注意到p為質數，所以
把兩式相加得，進而，結合,可得，於是，質數p只能是67，71，73，79或83.從而，滿足條件的m為1156，1296，1369，1600，1764.
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