x=l－l5÷［40（rls）2］＋l9÷［3456（rls）4］－l13÷［599040（rls）6］＋l17÷［175472640（rls）8］－l21÷［7.80337152×1010（rls）10］
y=l3÷［6（rls）］－l7÷［336（rls）3］＋l11÷［42240（rls）5］－l15÷［9676800（rls）7］＋l19÷［3530096640（rls）9］－l23÷［1.8802409472×1012（rls）11］
一、 概念
卵形曲線：是指在兩半徑不等的圓曲線間插入一段緩和曲線。也就是說：卵形曲線本身是緩和曲線的一段，只是在插入時去掉了靠近半徑無窮大方向的一段，而非是一條完整的緩和曲線。
二、 卵形曲線座標計算原理
根據已知的設計引數，求出包括卵形曲線的完整緩和曲線的相關引數和曲線要素，再按緩和曲線座標計算的方法來計算卵形曲線上任意點上的座標。
三、 座標計算
以雅攀高速公路a合同段立交區a匝道一卵形曲線為例，見圖一：已知相關資料如下表：
1、 緩和曲線（卵形曲線）引數計算
a1= √（70×50）=59.161
卵形曲線引數:
a2=(hy2－yh1) ×r1×r2÷(r2－r1)= (271.881－223.715) ×50×75÷(75－50)=7224.900
a2=√（7224.900）=84.999
a3=√（60×75）=67.082
2、 卵形曲線所在緩和曲線要素計算
卵形曲線長度lf由已知條件知：lf=hy2－yh1=271.881－223.715=48.166
卵形曲線作為緩和曲線的一段，因此先求出整條緩和曲線的長度ls，由此找出hz｀點的樁號及座標（實際上不存在，只是作為卵形曲線輔助計算用）
lm=ls（yh1至hz｀的弧長）=a2÷r1=7224.9÷50=144.498
∴hz｀樁號=yh1+lm=223.715+144.498=368.213
le=hy2至hz｀的弧長=a2÷r2=7224.9÷75=96.332
或le=lm－lf=144.498－48.166=96.332
卵形曲線長度lf=lm－le=144.498－96.332=48.166（校核）
hy2=hz｀－le=368.213－96.332=271.881（校核）
以上說明計算正確
3．hz｀點座標計算（見圖2）
㈠用緩和曲線切線支距公式計算，緩和曲線切線支距通式：
xn=［（－1）n+1×l4n－3］÷［（2n-2）！×22n－2×（4n－3）×（rls）2n－2］
yn=［（－1）n+1×l4n－1］÷［（2n-1）！×22n－1×（4n－1）×（rls）2n－1］
公式中符號含義：
n——項數序號（1、2、3、……n）
！——階乘
r——圓曲線半徑
ls——緩和曲線長度
㈡現取公式前6項計算（項數越多精度越高，可根據工程精度需求取項數），帶入公式後計算如下：
x=l－l5÷［40（rls）2］＋l9÷［3456（rls）4］－l13÷［599040（rls）6］＋l17÷［175472640（rls）8］－l21÷［7.80337152×1010（rls）10］
y=l3÷［6（rls）］－l7÷［336（rls）3］＋l11÷［42240（rls）5］－l15÷［9676800（rls）7］＋l19÷［3530096640（rls）9］－l23÷［1.8802409472×1012（rls）11］
公式中l為計算點至zh ｀或hz｀的弧長
hz｀：ak0+368.213的座標從yh1：ak0+223.715推算，
l=ls=hz｀－yh1=368.213-223.715=144.498
將l=ls帶入公式（1）、（2）得：
x=117.1072 y=59.8839
l對應弦長c=√（x2＋y2）=131.5301
偏角a1=arctg（y÷x）=27°5′0.2″
偏角計算用反正切公式，不要用其他公式。緩和曲線切線角：
a2=90×l2÷（π×k）=90×144.4982÷（π×7224.900）=82°47′28.5″
k為卵形曲線引數，本例中
k=a2=7224.900
q3=180－a1－（180－a2）
=180－27°5′0.2″－（180－82°47′28.5″）=55°42′28.3″
∴yh1″ hz｀切線方位角（m″b）=205°24′33.6″＋q3
=205°24′33.6″＋55°42′28.3″
=261°7′1.9″
∴ hz｀：ak0+368.213座標：
x=xyh1+ccos261°7′1.9″=9910.603+131.5301cos261°7′1.9″=9890.293
y=yyh1+csin261°7′1.9″=10136.791+131.5301sin261°7′1.9″=10006.838
4． hz｀：ak0+368.213切線方位角（d″b）計算
d″b方位角：=205°24′33.6″＋q2
=205°24′33.6″＋82°47′28.5″
=288°12′2.1″
b″d方位角：
=288°12′2.1″－180
=108°12′2.1″
5．計算卵形曲線上任意點座標（以hz｀：ak0+368.213作為推算起點）
①計算hy2：ak0+271.881的座標
∵l= hz｀－hy2=368.213－271.881=96.332代入公式1、2得：x=92.434 y=20.022
偏角q=arctg（y÷x）=12°13′19.61″ 對應弦長c=√（x2＋y2）=94.578
座標：x=9890.293+94.578cos（108°12′2.1″－12°13′19.61″）
=9880.442
y=10006.838+94.578sin（108°12′2.1″－12°13′19.61″）
=10100.902
②與設計值比較：
△ x=x計算值－x設計值=9880.442 －9880.438=＋0.004
△ y=y計算值－y設計值=10100.902 －10100.904=－0.002
同理可以計算出卵形曲線上其他任意點的座標。
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