一、概念
卵形曲線：是指在兩半徑不等的圓曲線間插入一段緩和曲線。也就是說：卵形曲線本身是緩和曲線的一段，只是在插入時去掉了靠近半徑無窮大方向的一段，而非是一條完整的緩和曲線。
二、卵形曲線座標計算原理
根據已知的設計引數，求出包括卵形曲線的完整緩和曲線的相關引數和曲線要素，再按緩和曲線座標計算的方法來計算卵形曲線上任意點上的座標。
三、座標計算
以雅（安）至攀（枝花）高速公路a合同段（西昌西寧）立交區a匝道一卵形曲線為例，見圖一：
（圖一）
已知相關設計資料見下表：
1、緩和曲線（卵形曲線）引數計算
a1==59.161
卵形曲線引數：
a2=（hy2-yh1）×r1（小半徑）
×r2（大半徑）÷（r2-r1）
=（271.881-223.715）×50×75÷（75-50）
= 7224.900
a2==84.999
a3==67.082
2．卵形曲線所在緩和曲線要素計算
卵形曲線長度lf由已知條件知：lf=hy2-yh1=271.881-223.715=48.166
卵形曲線作為緩和曲線的一段，因此先求出整條緩和曲線的長度ls，由此找出hz'點的樁號及座標（實際上不存在，只是作為卵形曲線輔助計算用）
lm=ls（yh1至hz'的弧長）=a2÷r1
=7224.900÷50=144.498
∴hz'樁號=yh1+lm=223.715+144.498=368.213
le=hy2至hz'的弧長
=a2÷r2=7224.900÷75=96.332
或le= lm-lf=144.498-48.166=96.332
卵形曲線長度lf=lm-le=144.498-96.332=48.166（校核）
hy2=hz'-le=368.213-96.332=271.881（校核）
由上說明計算正確
3．hz'點座標計算（見圖二）
（圖二）
①用緩和曲線切線支距公式計算，緩和曲線切線支距公式通式：
xn=[(-1)n+1×l4n–3]÷[(2n-2)!×22n–2×(4n-3)
×(rls)2n–2]
yn=[(-1)n+1×l4n–1]÷[(2n-1)!×22n–1×(4n-1)
×(rls)2n–1]
公式中符號含義：
n — 項數序號(1、2、3、……n)
！— 階乘
r — 圓曲線半徑
ls — 緩和曲線長
②現取公式前6項計算（有關書籍中一般為2-3項，不能滿足小半徑的緩和曲線計算精度要求，如本例中ak0+090~ak0+160段緩和曲線，如ak0+160中樁座標帶2項算誤差達8cm），公式如下：
x=l-l5÷[40（rls）2]+l9÷[3456（rls）4]–l13÷[599040（rls）6]+l17÷[175472640（rls）8]- l21÷[7.80337152×1010（rls）10] （公式1）
y=l3÷[6（rls）] - l7÷[336（rls）3]+l11÷[42240（rls）5] - l15÷[9676800（
rls）7]+l19÷[3530096640（rls）9] - l23÷[1.8802409472×1012（rls）11] （公式2）
公式中l為計算點至zh'或hz'的弧長
hz'：ak0+368.213的座標從yh1：ak0+223.715推算，
l=ls=hz'-yh1
=368.213-223.715=144.498
將l=ls代入公式（1）、（2）得：
x=117.1072 y=59.8839
l對應弦長c=√（x2+y2）=131.5301
偏角a1=arctg（y÷x）=27°05』00.2」
* 偏角計算用反正切公式，不要用其它公式。
緩和曲線切線角：
a2=90l2÷（πk）
=90×144.4982÷(π×7224.900)
=82°47』28.5」
* k為卵型曲線引數，本例中
k= a2=7224.900
q3=180-a1-（180-a2）
=180-27°05』00.2」-（180-82°47』28.5」）
=55°42』28.3」
∴yh1→hz』切線方位角（m→b）
=205°24』33.6」 +q3
=205°24』33.6」+55°42』28.3」
=261°07』01.9」
∴hz』：ak0+368.213座標：
x=xyh1+ccos261°07』01.9」=9910.603+131.5301 cos261°07』01.9」=9890.293
y=yyh1+csin261°07』01.9」=10136.791+131.5301 sin261°07』01.9」=10006.838
4．hz』：ak0+368.213點的切線方位角（d→b）計算
d→b方位角：
=205°24』33.6」+q2
=205°24』33.6」+82°47』28.5」
=288°12』02.1」
∴b→d切線方位角：
=288°12』02.1」-180
=108°12』02.1」
5．計算卵型曲線上任意點座標(以hz』:ak0+368.213作為推算起點)
①計算hy2:ak0+271.881的座標
∵l= hz』- hy2=368.213-271.881=96.332代入公式1、2得:x=92.434 y=20.022
偏角q= arctg（y÷x）=12°13』19.61」 對應弦長c=√（x2+y2）=94.578
座標：x=9890.293+94.578cos(108°12』02.1」-12°13』19.61」)
=9880.442
y=10006.838+94.578sin(108°12』02.1」-12°13』19.61」)
=10100.902
②與設計值比較:
△x=x計算值-x設計值=9880.442-9880.438
=+0.004
△y=y計算值-y設計值=10100.902-10100.904
=-0.002 mm
同理依次可計算出卵型曲線上其它任意點的座標。由此可見，採用此方法計算求得的座標與設計院通過電腦程式計算的結果相差很小，本人多年來在高速公路多條卵型曲線採用此方法計算其座標，其計算精確，完全可以作為包括高速公路在內的卵型曲線座標計算。
緩和曲線計算方法
x l l5 40 rls 2 l9 3456 rls 4 l13 599040 rls 6 l17 175472640 rls 8 l21 7.80337152 1010 rls 10 y l3 6 rls l7 336 rls 3 l11 42240 rls 5 l15 9676800 rls ...
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