平面向量複習2
三、平面向量的基本定理：共線和不共線定理
①共線定理：向量與非零向量共線的充要條件是有且只有乙個實數，使得。
ⅰ、提供證明共線或平行的方法。
ⅱ、定比分點座標公式，中點座標公式，重心公式。
、平行問題的座標表示；
例１、已知和點滿足，若存在實數使得成立，則３
例２、已知點，，若，則當＝____時，點在第
一、三象限的角平分線上。
例３、若為的邊的中點，所在平面內有一點，滿足，設，則？
②共線定理應用：
例１、若，，且，則點的座標為_______
例２、已知，直線與線段交於，且，則等於_______
例３、如圖，在中，點是的中點，點在邊上，且，
與相交於點，求的值？
５、平行四邊形法則：
例１、已知是兩個非零向量，且，則的夾角？
例２、已知，則等於____
例３、若向量與向量的夾角為，，則向量模？
例４、若正方形的邊長為1，，則＝_____
例５、已知均為單位向量，它們的夾角為，那麼＝_____
例６、若是所在平面內一點，且滿足，則的形狀？
③如果和是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對該平面內的任一向量，有且只有一對實數，
使。例１、下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是 （ ）
例２、平面上三個不同點不共線，問：是否存在實數滿足，且。
例３、平面上三點不共線，設,則的面積等於________k^s*
（ab）
（c） （d）
④實數與向量的積：實數與向量的積是乙個向量，記作，它的長度和方向規定如下：當》0時， 的方向與的方向相同，當<0時， 的方向與的方向相反，當＝0時，，注： ≠0。
⑤平面向量的數量積：
（1）兩個向量的夾角：對於非零向量，，作， 稱為向量，的夾角，當＝0時，，同向，當＝時，，反向，當＝時，，垂直。
（2）平面向量的數量積：如果兩個非零向量，，它們的夾角為，我們把數量叫做與的數量積（或內積或點積），記作：，即。
規定：零向量與任一向量的數量積是0，注意數量積是乙個實數，不再是乙個向量。
（3）在上的投影為，它是乙個實數，但不一定大於0。
（4）的幾何意義：數量積等於的模與在上的投影的積。
（5）向量數量積的性質：設兩個非零向量，，其夾角為，則：
ⅰ、；ⅱ、當，同向時，，特別地，；
當與反向時，；
當為銳角時，，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；
當為鈍角時，，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；
ⅲ、非零向量，夾角的計算公式：；
ⅳ、；；
當同向或有；
當反向或有；
當不共線；
、數量積的運算；
例１、已知，，且，則向量在向量上的投影為______
例２、中，，，，則_________
例３、已知，與的夾角為，則等於___
例４、已知非零向量滿足與互相垂直，與互相垂直，則與的夾角？
例５、已知圓的半徑為，、為該圓的兩條切線，為兩切點，那麼的最小值為不
例６、為非零向量，「」是「函式為一次函式」的________條件。
、夾角問題；
例７、已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值範圍？
例８、已知的面積為，且，若，則夾角的取值範圍？
例９、若兩向量滿足所成的角為，若向量與向量所成的角為鈍角，
求實數的取值範圍？
例10、已知與之間有關係式，①用表示；
②求的最大值，並求此時與的夾角的大小？
②最小值？
③當取得最大值時，求實數，使的值最小，並對這一結果做出幾何解釋；
例11、已知，設，
①求函式的最小正週期；
②當時，求函式的最大值及最小值；
⑥向量的運算：
ⅰ、幾何運算：
１、向量加法：利用「平行四邊形法則」進行，但「平行四邊形法則」只適用於不共線的向量，向量加法還可利用「三角形法則」
２、向量的減法：用「三角形法則」
ⅱ、座標運算：設，則：
１、向量的加減法運算：，。
２、實數與向量的積：。
３、若，則，即乙個向量的座標等於表示這個向量的有向線段的終點座標減去起點座標。
４、平面向量數量積：。
５、向量的模：。
６、兩點間的距離：若，則。
例１、若點是的外心，且，則的內角為____
例２、已知，，則
⑦向量的運算律：
１、交換律：，，；
２、結合律：，；
３、分配律：，。
例１、下列命題中正確的是______
④ 若，則或； ⑤若則； ⑥；
⑧向量平行(共線)的充要條件： ＝0。
例１、若向量，當_____時與共線且方向相同；
例２、已知，，，且，則______；
例３、設，則____時，共線；
⑨向量垂直的充要條件： .
特別地。
、模長及垂直條件
例１、已知，若，則
例２、以原點和為兩個頂點作等腰直角三角形oab，，則點的座標？
例３、已知向量，且，則的座標是________
例2、已知，則把向量按向量平移後得到的向量是？
四、平面向量的應用：
①向量在幾何中的應用：向量的幾何表示是有向線段，其加法和減法的幾何意義、模長、平行、垂直等內容的結合。
、在幾何中的應用「三角形「四心」向量」
在中：①若，則其重心的座標為。
②為的重心，特別地為的重心；
③為的垂心；
④向量所在直線過的內心(是的角平分線所在直線)；
⑤的內心；
例１、向量、、滿足，，求證是正三角形。
例２、若為內一點， ，則是的（）
a、內心 b、外心 c、垂心d、重心
例３、是平面上不共線三點，是的重心，動點滿足，則點一定為的（ ）
、邊中線的中點邊中線的三等分點（非重心）
、重心邊的中點
例１、是所在平面上一點，若，則
是的（ ）、外心 、內心 、重心 、垂心
３、外心(邊垂直平分線交點，外接圓圓心)
是的外心 (或)(點到三邊距離相等)
例１、若為內一點，，則是的（ ）
、內心、外心、垂心、重心
4、內心(角平分線交點，內切圓圓心)
例1、是平面上乙個定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足：
，則點軌跡一定經過的（ ）
外心內心重心垂心
例２、已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個動點，動點滿足
，則的軌跡一定通過的（ ）
外心內心重心垂心
例３、已知非零向量與滿足，且，則為（ ）
向量小結與複習 2
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學生版平面向量試題
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