——換元法與主元法
因式分解是針對多項式的一種恒等變形，提公因式法、公式法，分組分解法是因式分解的基本方法，通常根據多項式的項數來選擇分解的方法．
一些複雜的因式分解問題．常用到換元法和主元法．
所謂換元，即對結構比較複雜的多項式，若把其中某些部分看成乙個整體，用新字母代替(即換元)，則能使複雜的問題簡單化、明朗化，在減少多項式項數，降低多項式結構複雜程度等方面有獨到作用．
所謂主元，即在解多變元問題時，選擇其中某個變元為主要元素，視其他變元為常量，將原式重新整理成關於這個字母的按降冪排列的多項式，則能排除字母間的干擾，簡化問題的結構．
例題求解
【例1】 分解因式
(第12屆「五羊杯」競賽題)
思路點撥視為乙個整體．用乙個新字母代替，從而能簡化式子的結構．
【例2】 多項式因式分解後的結果是( )．
a．(y－z)(x+y)(x－z) b．(y－z)(x－y)(x＋z)
c． (y+z)(x一y)(x+z) d．(y十z)(x+y)(x一z)
(上海市競賽題)
思路點撥原式是乙個複雜的三元三次多項式，直接分解有一定困難，把原式整理成關於某個字母按降冪排列的多項式，改變其結構，尋找分解的突破口．
【例3】把下列各式分解因式：
(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+ x2； (天津市競賽題)
(2)1999x2一(19992一1)x一1999； (重慶市競賽題)
(3)(x+y－2xy)(x+y－2)＋(xy－1)2； (「希望盃」邀請賽試題)
(4)(2x－3y)3十(3x－2y)3－125(x－y)3． (第13屆「五羊杯」競賽題)
思路點拔 (1)是形如abcd+e型的多項式，分解這類多項式時，可適當把4個因式兩兩分組，使得分組相乘後所得的有相同的部分；(2)式中係數較大，不妨把數用字母表示；(3)式中x+y；xy多次出現，可引入兩個新字母，突出式子特點；(4)式前兩項與後一項有密切聯絡．
【例4】把下列各式分解因式：
(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2 (a一b)；(2)x2+xy－2y2－x+7y－6．
思路點撥 (1)式字母多次數高，可嘗試用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多項式，解題思路寬，用主元法或分組分解法或用待定係數法分解．
【例5】證明：對任何整數 x和y，下式的值都不會等於33．
x5+3x4y－5x3y2一15x2y3+4xy4+12y5．
(莫斯科奧林匹克八年級試題)
思路點撥 33不可能分解為四個以上不同因數的積，於是將問題轉化為只需證明原式可分解為四個以上因式的乘積即可．
注：分組分解法是因式分解的量本方法，體現了化整體為區域性、又統攬全域性的思想．如何恰當分組是解題的關鍵，常見的分組方法有：
（1）按字母分組：
(2)按次數分組；
(3)按係數分組．
為了能迅速解決一些與代教式恒等變形相關的問題，讀者因熟悉如下多巧式分解因式後的結果：
（1）；
(2)學歷訓練
1．分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－8
2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12
3．分解因式：x2－xy－2y2－x－y2023年重慶市中考題)
4．已知二次三項式在整數範圍內可以分解為兩個一次因式的積，則整數m的可能取值為
5．(2023年北京中考題)將多項式分解因式，結果正確的是（ ）．
a． b． c． d．
6．下列5個多項式：
其中在有理數範圍內可以進行因式分解的有（ ）．
ab．②、③ 、④ cd．①、②、④
7．下列各式分解因式後，可表示為一次因式乘積的是( )．
a． b． c． d．
(第13屆「希望盃」邀請賽試題)
8．若，，則的值為( )．
a． b． c． d．0大連市「育英杯」競賽題)
9．分解因式:
（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2； (2)(2x2－3x+1)2一22x2+33x－1；
(3)x4+2001x2+2000x+20014)(6x－1)(2 x－1)(3 x－1)( x－1)+x2；
(56)．
10．分解因式
11．分解因式
12．分解因式第15屆「五羊杯」競賽題）
13．在1~100之間若存在整數n，使能分解為兩個整係數一次式的乘積，過樣的n 有個． (北京市競賽題)
14．的因式是( )
a． b． c． d． e．
15．已知，m=，n=，則m與n的大小關係是( )
a．m n c．m＝n d．不能確定
(第13屆「希望盃」邀請賽試題)
16．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)； (湖北省黃岡市競賽題)
(3)； (天津市競賽題)
(4)；（第13屆「五羊杯」競賽題）
(5)． (天津市競賽題)
17．已知乘法公式：
； ．
利用或者不利用上述公式，分解因式： (「祖沖之杯」邀請賽試題)
18．已知在δabc中， (a、b、c是三角形三邊的長)．
求證天津市競賽題)
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