第一講分解方法的延拓
——換元法與主元法
因式分解是針對多項式的一種恒等變形，提公因式法、公式法、分組分解法是因式分解的基本方法，通常根據多項式的項數來選擇分解的方法。
一些複雜的因式分解問題，常用到換元法和主元法。
所謂換元，即對結構比較複雜的多項式，若把其中某些部分看成乙個整體，用新字母代替(即換元)，則能使複雜的問題簡單化、明朗化，在減少多項式項數，降低多項式結構複雜程度等方面有獨到作用。
所謂主元，即在解多變元問題時，選擇其中某個變元為主要元素，視其他變元為常量，將原式重新整理成關於這個字母的按降冪排列的多項式，則能排除字母間的干擾，簡化問題的結構。
例題求解
【例1】 分解因式五羊杯」競賽題)
思路點撥：視為乙個整體。用乙個新字母代替，從而能簡化式子的結構。
【例2】 多項式因式分解後的結果是( )。
a、(y－z)(x+y)(x－z) b、(y－z)(x－y)(x＋z)
c、(y+z)(x一y)(x+z) d、(y十z)(x+y)(x一z上海市競賽題)
思路點撥：原式是乙個複雜的三元三次多項式，直接分解有一定困難，把原式整理成關於某個字母按降冪排列的多項式，改變其結構，尋找分解的突破口，選a。
【例3】把下列各式分解因式：
(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+ x2； (天津市競賽題)
(2)1999x2一(19992一1)x一1999； (重慶市競賽題)
(3)(x+y－2xy)(x+y－2)＋(xy－1)2； (「希望盃」邀請賽試題)
(4)(2x－3y)3十(3x－2y)3－125(x－y)3 (第13屆「五羊杯」競賽題)
思路點拔：
(1)是形如abcd+e型的多項式，分解這類多項式時，可適當把4個因式兩兩分組，使得分組相乘後所得的有相同的部分；
(2)可用十字相乘法求解；
(3)式中x+y；xy多次出現，可引入兩個新字母，突出式子特點；
(4)式前兩項與後一項有密切聯絡。
【例4】把下列各式分解因式：
(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2 (a一b2)x2+xy－2y2－x+7y－6。
思路點撥：
(1)式字母多次數高，可嘗試用主元法；
(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多項式，解題思路寬，用主元法或分組分解法或用待定係數法分解。
【例5】證明：對任何整數 x和y，式子x5+3x4y－5x3y2一15x2y3+4xy4+12y5的值都不會等於33。
(莫斯科奧林匹克八年級試題)
思路點撥 33不可能分解為四個以上不同因數的積，於是將問題轉化為只需證明原式可分解為四個以上因式的乘積即可。
注：分組分解法是因式分解的基本方法，體現了化整體為區域性、又統攬全域性的思想。如何恰當分組是解題的關鍵，常見的分組方法有：
（1）按字母分組：(2)按次數分組；(3)按係數分組。
為了能迅速解決一些與代教式恒等變形相關的問題，讀者應熟悉如下多項式分解因式後的結果：
（1）；(2)
因式分解訓練題
1、分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－8
2、分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12
3、分解因式：x2－xy－2y2－x－y重慶市中考題)
4、已知二次三項式在整數範圍內可以分解為兩個一次因式的積，則整數m的可能取值為
5、將多項式分解因式，結果正確的是北京市中考題)
a、 b、 c、 d、
6、下列5個多項式：①；②；
③；④ ；⑤
其中在有理數範圍內可以進行因式分解的有（ ）
abcd、①、②、④
7、下列各式分解因式後，可表示為一次因式乘積的是希望盃」邀請賽試題)
a、 b、 c、 d、
8、若，，則的值為( ) (大連市「育英杯」競賽題)
a、 b、 c、 d、0
9、分解因式
（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2 (2)(2x2－3x+1)2一22x2+33x－1
(3)x4+2001x2+2000x+20014)(6x－1)(2 x－1)(3 x－1)( x－1)+x2
(5) (6)。 (「希望盃」邀請賽試題)
10、分解因式
11、分解因式
12、分解因式五羊杯」競賽題）
13、在1～100之間若存在整數n，使能分解為兩個整係數一次式的乘積，過樣的n有多少個。 (北京市競賽題)
14、的因式有
a、 b、 c、 d、 e、
15、已知，m=，n=，則m與n的大小關係是( )
a、m n c、m＝n d、不能確定 (「希望盃」邀請賽試題)
16、把下列各式分解因式：
(1) (2) (湖北省黃岡市競賽題)
(3) (天津市競賽題)
(4)（「五羊杯」競賽題）
(5) (天津市競賽題)
17、已知乘法公式：
； 。
利用或者不利用上述公式，分解因式： (「祖沖之杯」邀請賽試題)
18、已知在δabc中， (a、b、c是三角形三邊的長)。 求證天津市競賽題)
第4講因式分解的常用方法
多項式的因式分解是代數式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具 因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用。初中數學中主要介紹了提取公因式法 運用...
1第一講分解方法的延拓
換元法與主元法 因式分解是針對多項式的一種恒等變形，提公因式法 公式法，分組分解法是因式分解的基本方法，通常根據多項式的項數來選擇分解的方法 一些複雜的因式分解問題 常用到換元法和主元法 所謂換元，即對結構比較複雜的多項式，若把其中某些部分看成乙個整體，用新字母代替 即換元 則能使複雜的問題簡單化 ...
第1講比較分數的大小的常用方法
第1講比較分數的大小 對於兩個不同的分數，有分母相同，分子相同以及分子 分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是 分母相同的兩個分數，分子大的那個分數比較大 分子相同的兩個分數，分母大的那個分數比較小。第三種情況，即分子 分母都不同的兩個分數，通常是採用通分的方法，使它們的分母相同，化為...