個人建議：在您看這份文件的同時，準備一支筆，一張草稿紙。如果看到例題，跟我的步驟，一步一步地同時寫下來，這樣比光看螢幕，要理解得更快！
我在自己的討論稿文件裡，求餘的時候，都會用到 mod 這個運算子。
mod：模。意思就是求餘數。
比如說：5 mod 3=2， 100 mod 11=1
讀作：五模三餘二，一百模十一余一
這是標準的公式化寫法，大家可能不太熟悉，但是知道意思了，其實也很簡單。引入mod，主要是可以用數學公式來寫，而且可以把求餘數的問題化簡成為普通的四則運算的問題，也比較容易表達。
在講如何求餘之前，先來普及一下餘數的一些性質。
首先就是餘數的加減法：比如說100除以7餘2，36除以7餘1。那麼100+36除以7餘幾呢？
或者100-36除以7餘幾呢？很顯然，只要用100除以7的餘數2與36除以7的餘數1進行加減就可以得到答案。通過這個例子可以很明顯的看出來，餘數之間是可以加減的。
總結寫成書面的公式的話，就是：(m＋n) mod q=(（m mod q）+（n mod q）) mod q
然後我們再看餘數的乘法：我們繼續來看上面這個例子，如果要求100*36除以7的餘數是多少，該怎麼求呢？
我們不妨來這樣做：
100=98+2=7*14+2，36=35+1=7*5+1；
這時100*36=（7*14+2）（7*5+1）=7*14*7*5 + 2*7*5 + 7*14*1 + 2*1
很明顯，100*36除以7的餘數就等於2*1=2
於是我們可以得出這樣的乙個結論：求m*n除以q的餘數，就等於m除以q的餘數乘以 n除以q的餘數。
類似的，如果是求n^m 除以q的餘數呢？只要我們將n^m=n*n*n*...*n，也就是說分別地用每個n除以q的餘數相乘，一共m個，得出的結果再對q求餘數，即可求出結果。
舉例來說：求11^4除以9的餘數。化成公式即是：11^4 mod 9=?
11^4 mod 9 = (9+2)^4 mod 9 = 2^4 mod 9 =16 mod 9 = 7
於是我們可以總結出這樣的公式：
m*n mod q=（m mod q）*（n mod q） mod q
（ m^n mod q = （m mod q）^n mod q ）
那麼，我們知道了這些性質之後對解題又有什麼幫助呢？
as we all know，如果乙個數乘以1，還是等於原數；而1的任意次方，還是等於1。
所以在解答這一類的問題的時候，只要我們盡量把計算中的餘數湊成與1相關的乘式，結果顯然會好算很多的。（或者-1，2之類的比較容易進行計算的數字都可以，因題而異。）
舉例說明：求3^11除以8的餘數。題目即是：3^11 mod 8=?
3^11 mod 8
=3^10 * 3^1 （mod 8）
=(3^2)^5*(3^1) （mod 8）
=9^5 * 3 （mod 8）
=(8+1)^5 * 3 （mod 8）
=1^5 *3 （mod 8）
=3發現沒有，甚至沒有去計算什麼尾數的規律，答案就算出來了，而且只用了加減乘除。
那麼再來看一道題目：求 （2^100）*（3^200） 除以7的餘數
先化成計算公式：
(2^100)*(3^200mod 7
=[2^(3*33 + 1)] * [3^(3*66 + 2)] mod 7
=[(2^3)^33 * 2] * [(3^3)^66 * 3^2] mod 7
=(8^33 * 2) * (27^66 * 9mod 7
=[(7+1)^33 * 2] * [(28-1)^66 * 9] mod 7
=(1^33 * 2)* [(-1)^66 * 9] mod 7
=2*9mod 7
=4注意：如果餘數有負號，就當做負數一樣計算。
我步驟寫得很詳細，但其實只要是熟練了，基本上只要三四步答案一定就出來了，有沒有覺得很簡單呢？趕緊找一兩題來練練手吧，甚至隨便寫幾個數字來做做試試看，像我上面的例題都是臨時編的。
相信只要練習了三四道題目，以後再碰到這樣的餘數題，就會會心地一笑：小樣，秒掉你！
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