例2 ①若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值範圍是
解析 這道試題明顯改造於2023年全國高考試題：圓上到直線的距離等於的點的個數是（ ）a.1 b.2 c.3 d.4
②已知點到兩定點的距離比為，點到直線的距離為1，求直線的方程。
解析 已知，直線：和圓：．
（ⅰ）求直線斜率的取值範圍；
（ⅱ）直線能否將圓分割成弧長的比值為的兩段圓弧？為什麼？
解析：評注：1.直線系方程問題及直線恆過定點問題；2. （ⅱ）的多種解法。
（二）圓的有關問題
1. 圓的方程：①圓的標準方程圓的一般方程
圓的引數方程
例3 ①且是方程表示圓的
a．充分非必要 b．必要非充分 c．充要條件 d．既非充分也非必要條件
②直線l:3x+4y-12=0與圓c: (為引數 )公共點個數為 。
2.直線與圓的位置關係的判定方法有兩種：
①代數法：把直線方程代入圓的方程轉化成二次方程利用判別式
②幾何法：利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關係：
如為平面任意一點，直線圓的位置關係：點在圓外，直線與圓 ；點在圓上，直線與圓 ；點在圓內，直線與圓 .
3．弦長公式：設直線與圓交於兩個不同點，則所截得弦長為
4.兩圓位置關係：設兩圓圓心分別為o1，o2，半徑分別為r1，r2，.
4條公切線3條公切線；
無公切線；
5. 兩圓的公共弦與圓的切線長：
例4：①已知兩圓：，：，
則以兩圓公共弦為直徑的圓的方程是
已知兩個圓與，則由式減去式可得上述兩圓的對稱軸方程。將上述命題在曲線仍為圓的情況下加以推廣，即要求得到更一般的命題，而已知命題應成為所推廣命題的乙個特例。推廣的命題為
解析 事實上，本題尚可進一步推廣：設兩圓方程分別為與，則由-可得方程（或）表示兩圓的根軸。」
特別地，若兩圓半徑相等，則為兩圓的對稱軸方程；若兩圓半徑不相等，則有以下幾種情況：外切時表示內公切線；相交時表示公共弦所在直線；內切時表示外公切線；內含或相離時為根軸。
由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（ ） a． b． c． d．
已知兩定點如果動點p滿足條件則點p的軌跡所包圍的圖形的面積等於（ ）（a） （b） （c） （d）
已知直角座標平面上點q（2，0）和圓c：動點m到圓c的切線長與的比等於常數.求動點m的軌跡方程，說明它表示什麼曲線.
簡析 （2011浙理）是兩個定點，點為平面內的動點，且(且)，點的軌跡圍成平面區域的面積為，設(且)，則以下判斷正確的是（ ）
a．在上增，在上減 b．在上減，在上減
c．在上增，在上增 d．在上減，在上增
（2008蘇）若，則的最大值
（三）對稱問題
⑴點關於定點的對稱點座標為曲線：關於定點的對稱曲線方程為
⑵若求點關於直線的對稱點，可得方程組特別地，若對稱軸為則p點座標為若對稱軸為則p點座標為如：
已知點在圓c：上，點關於直線的對稱點也在圓上，則圓心座標為 ，半徑為 ．
⑶圓關於的對稱圓的方程為關於直線的對稱圓的方程為
（4）關於對稱問題的幾個應用：
例5 光線從點射到直線上，經過反射，其反射光線過點，則光線從到所走過的路程為 ；一條光線從點射出，經軸反射，與圓相切，則反射光線所在直線的方程為
解析若的頂點，，，則的平分線所在直線方程為在△abc中，bc邊上的高所在的直線的方程為x-2y+1=0，∠a的平分線所在的直線方程為y=0，若點b的座標為（1，2），則點a和點c的座標分別為
設點,試在x軸上找一點p使得：最小，則最小值為 ；此時p點座標為 ；若使得最大，則最大值為 ；此時p點座標為 ；
函式的最小值為 ；
函式的最大值為 ；
摺疊問題：在平面直角座標系中，已知矩形abcd的長為2，寬為1，ab、ad邊分別在x軸、y軸的正半軸上，a點與座標原點重合（如圖1所示）.將矩形摺疊，使a點落**段dc上，
（ⅰ）若摺痕所在直線的斜率為k，試寫出摺痕所在直線的方程；
（ⅱ）求摺痕的長的最大值.
解析 （圖2） （圖3）
（圖4） （圖5）
注：本題作為動手操作性問題，可體現研究性學習的特色。並能作進一步**：
**一若乙個矩形紙片abcd的長ad為a，寬ab為b(變式**：求在矩形abcd中摺痕沒有掃過的圖形面積
**二一張紙上畫有半徑為r的圓o和圓內一定點p，且op=a(a變式**：
若改條件「圓內一定點p，且op=a(ar)」呢？
《直線和圓》知識點梳理
1 直線傾斜角的範圍 斜角不是90 的直線,它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率,即 傾斜角為的直線沒有斜率.經過兩點 的直線的斜率為 2 直線的方程 點斜式 已知直線過點,斜率為,則直線方程為,它不包括垂直於軸的直線 斜截式 已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直於軸的直線 兩點式...
《直線和圓》知識點梳理
1 直線傾斜角的範圍 斜角不是90 的直線,它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率,即 傾斜角為的直線沒有斜率.經過兩點 的直線的斜率為 2 直線的方程 點斜式 已知直線過點,斜率為,則直線方程為,它不包括垂直於軸的直線 斜截式 已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直於軸的直線 兩點式...
第8講 直線與圓 學生版
1 直線的傾斜角與斜率 直線的傾斜角 在平面直角座標系中，對於一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小的正角記為，那麼就叫做直線的傾斜角 傾斜角的範圍 這樣定義的傾斜角可以使平面上的任意一條直線都有唯一的乙個傾斜角 特殊位置 當時，直線與軸平行 當時，直線與軸垂直...