第二節速度譜的製作(velocity spectrum)
本講繼續討論速度分析的兩種準則，並且討論速度譜的製作原理。
本節要點：
● 非歸一化互相關準則
● 歸一化互相關準則
● 疊加速度譜的製作
● 相關速度譜的製作
● 速度譜的製作引數選擇
四．非歸一化互相關準則(cross correlation criterion)
將（6-1-8）改寫成：
(=(1-)e(,)-
=(1-)e(,)-()
=(1-)e(,)-(0;,)
=(1-)e(,)-k(,)
e(,)=
其中：k(,)=(0;,)
（6-1-16）可知， (達到最小值，等價k(,)達到最大。
（6-1-17）為n道**記錄之間可能組成的非歸一化互相關函式之和，稱為非歸一化互相關準則。當給定t 時，不斷改變，計算(0;,)，當選擇，計算r後恰好使第i道記錄上的反射訊號與第i道記錄上的反射訊號同相，使(0;,)達到最大，這時n道**記錄非歸一化互相關函式之後k(,)達到最大。因此，k(,)或(0;,)可以作為速度分析的判別準則。
五、歸一化互相關準則(normalized cross correlation criterion)
以上三種具體的速度分析判別準則都是以記錄非歸一化離散值為輸入來計算的，如果採用
=作為基本輸入，那麼可以得到類似於（6-1-8）的判別準則。
(=-(
將（6-1-19）改寫成：
(==(1-)e(,)-m(n-1)
其中(,)為歸一化互相關。
(,)=
=（6-1-20）和（6-1-21）可以看出(達到最小與歸一化互相關為一類，有平均振幅能量準則，平均振幅準則和相似性係數s準則，這類準則是疊加方法製作速度譜的理論基礎。
令一類就是基於相關的準則，分別有非歸一化互相關k準則和歸一化互相關k準則。這類準則是相關方法製作速度譜的理論基礎。
第二節速度譜的製作
一、 疊加速度譜(stack velocity spectrum)
1， 基本原理
對於共深度點道集的n個記錄道，按照一定時差步長計算正常時差對n個記錄道做正常時差校正，如果某個正常時差校正正好使n個記錄道反射波訊號同相，那麼，這n道記錄疊加後平均振幅為最大，這時對應於的速度就是所求的均方根速度。
根據上述原理，在進行速度分析時，首先固定t 時間，對應於t時間和已知n道記錄的炮間距, ,….。
根據（6-1-2）可得到第n道的正常時差為：
6-1-2)
因此得到均方根速度：
=（6-2-2）可以看出，給定t和最大炮間距，均方根速度是以正常時差為變數的。我們用掃瞄方法進行速度分析，預先對限定掃瞄範圍，從至變化。對與這個範圍內的每乙個t值，都有相應的一根雙曲線與它對應，從而也就可以確定他們相應的速度值，如圖6-1所示，根據（6-2-2），給定至的範圍，也就可以確定速度的範圍。
式中可以看出越小，速度越小，對每個值或相應的速度，沿相應的雙曲線對各記錄道計算達到時間i=1,2,……n,進而計算= i=1,2,……n，根據r, i=1,2,……n 取出各道記錄的振幅離散值，i=1,2,……n，在平均振幅和平均振幅能量計算平均振幅或平均振幅能量（e），如圖6-1，固定t，選擇一系列的速度，就可求出相應的平均振幅a或平均振幅能量e，可表示成速度的函式。這時將平均振幅或平均振幅能量與速度構成的變化曲線成為速度譜線，圖6-1分析可以看出沿圖中雙曲線h對各道進行疊加求和，由於各記錄道的反射訊號是同相相加的，那麼平均振幅達到最大值，這時對應的速度就是所要求的均方根速度，如果改變t,選定一系列速度，又可求出令一組速度譜線。這樣從淺到深選擇一系列的旅行時間，，….
，利用上述方法進行計算，得到多條速度譜線。將每個速度譜線按時間從小到大排列。形成（t-v）座標系中的圖形，將這個圖形稱為速度譜，如圖6-2。
圖6-1疊加速度譜圖6-2速度譜曲線圖6-3在時窗內進行疊加
利用上述疊加原理製作速度譜時。為了使平均振幅()
變化更突出，可以從時間t開始，對利用r 取出的各道記錄的政振幅離散值取時窗進行疊加。其疊加方法是沿時窗內的平行某一雙曲線h()的曲線進行的，如圖6-3，既滿足下式
=︱︱其中：n為道數，m為時窗長度。或：
= 這裡可以看出，為了使疊加值更加突出，時窗長度的選擇不宜過大或過小，原則上應等於反射訊號的長度。在速度譜形成時，其疊價值有時數值很大，速度譜顯示時，突變性很大，譜面不清晰，因此，通常在速度譜顯示前，需要做歸一化處理。通常的做法是：
在不同的t速度譜線資料中，判別每個t譜線的各自疊加值的最大值或，然後，利用下式進行歸一化=或=
為了便於恢復疊加值，將每個線對應的或都記錄下來。
這裡如果用歸一化互相關相似性準則（6-1-15）進行疊加，突變程度將會減小。
1． 具體實現步驟
1）。將t時間規定為，根據（6-2-2）給出一條參考速度曲線，並且計算相應於最大炮間距xn道tn曲線。參考時差曲線，確定速度範圍()和速度間隔v。
2）。根據速度範圍選定一最小速度，用下式
=式中：為抽樣間隔，為第i道的炮間距。
3）。以為起點或校正後時差曲線為基線，取時窗長度為，在m時窗對n道取振幅離散值進行疊加，公式
=︱︱或=
因此，得到疊加值()或()。
4）。選擇速度， =+，重複1）2）3）計算，得到()或()，依次用=+2，。。。。=+(r-1r-1) ，為速度範圍最大值vmax，重複1）2）3）計算，這樣就得到()或()，這樣就完成了時間為的速度譜的製作。
5）改變t0時間，加上乙個時間增量t，固定=+t重複1）2）3）4）計算，得到第二條速度譜線。依次選擇=1，2，3，。。。s，重複上述計算得到速度譜。
二、相關速度譜的製作(cross correlation velocity spectrum)
速度譜方法簡單，計算量小，但對各道振幅變化規律要求較嚴，否則會降低對速度變化的靈敏度，相關速度譜是以各道的互相關作為準則，不論採用歸一化互相關函式準則。還是非歸一化函式準則，它都要求某一時窗段內，相關的兩道波形相似，而不單純以訊號振幅大小來判別。因此，儘管它的計算量比疊加速度譜要大。
但它對計算的速度解析度要高，當輸入資料幅度發生變化時，其分析效果相對穩定。
上述討論的疊加速度譜是利用疊加準則或相似性準則來判斷和拾取的。假設有n個經過靜
校正的共深度道集(t),…. (t),設x0(t)為該共深度點道集中炮間距為0的記錄道。各記錄道是反射訊號s(t)與隨即干擾n(t)的線性疊加，可表示成：
(t)=s(t-) + (t)
(t)=s(t--) + (t)
………………..
(t)=s(t--) + (t)
………………..
(t)=s(t--) + (t)
其中： (t) (t) (t) (t)分別為零炮間距第 0，i，n道的隨機干擾。
記錄道的反射訊號形狀相同，但具有不同時間延遲。
+=第k道反射訊號的時間延遲：
+=其中：為雙成垂直反射時間，v為均方根速度，xi,xk分別為第i，k道的炮間距，，分別為第i，k道的正常時差。
我們用非歸一化互相關或相關函式準則進行速度分析。既選定一系列雙程旅行時間。
對於每個時間，再選定一系列均方根速度：
為了求出某乙個時間反射訊號相應的均方根速度，可以任意選取某乙個速度值，並對屬於同一共深度點道集的n 個記錄道中兩個不同的記錄道(t) 和(t)兩兩相關，得到n(n-1)/2個互相關函式或歸一化互相關函式。
互相關函式(0;,)為：
(;,)=
歸一化互相關函式 (;,)為：
(;,)=
其中： =
=（6-2-10）和（6-2-11）中，m為相關時窗長度，其滿足m>=t/,t為反射訊號長度，為抽樣間隔；為以為單位的時移，時移範圍為（-m,m）,一般不大於(-m,m).
對於（6-2-7）對i,k記錄道非歸一化互相關函式有：
(-)為訊號的自相關函式，為兩道正常時差的差。
=（-）（-）
其中，和是用準確的速度v計算的第i,k道的正常時差；和是當前使用的速度,計算的第i,k道的正常時差。因此有：
-=（+-（+
-=（+-（+
當炮間距與反射介面埋藏深度相當時，可將上式按二次項展開，並近似取前二項，得到：
-=（-）
-=（-）
（6-2-12）中，如果各道的躁聲是互不相關的，那麼（-）不論時移如何變化，其值均應接近於0或極小值。因此，可以看出互相關函式(;,)是由訊號的自相關函式疊加在隨機干擾的互相關函式的微弱背景之上的，它的最大值完全由自相關函式(-)來確定，那麼(-)的最大值位置在
==（-）
（6-2-13）可以看出，當炮間距和以知時，對於某個時間，值取決於所選定速度。當所選定的速度大於反射波均方根速度v時，如果》,則》0;反之，當所選定的速度大於反射波均方根速度v時，如果<,則<0.因此， (;,)最大值位於時間原點=0的左端或右端，反映與v相對大小。
只有=v時， =0，互相關函式(;,)的最大值才出現在時間原點=0處。這樣，我們就把互相關函式零延遲時間的值用於正常時差校正的速度引數聯絡起來，兩道相關函式零延遲時間的值，只有=v時，才出現最大值。顯然，如果把所有兩兩相關的兩道相關函式零延遲時間的值相加，也可以得到最大值，為：
(,)=
=n(n-1)/2+（-）
上式可以看出，通過各道之間的零互相關函式相加，可以降低了各道隨即干擾之間的零互相關函式的干擾水平，相對突出零互相關函式零時移的值。
同樣，對於歸一化互相關函式，當所選取的速度v等於反射波的均方根速度時， (,)=2/n(n-1)
也為最大。
在的時窗內，非歸一化互相關函式(,)和歸一化互相關函式k(,)分別可以寫成
k(,)=
和 (,)=
根據（6-2-15）和（6-2-16），可以看出以t為引數，幅度隨速度變化曲線，並將所有的一系列對應的k()或()曲線顯示出來，就得到相應的速度譜。
2．具體實現步驟（complete steps）
地球物理數字處理 第二十七講
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