蘭州第十中學數學組
2023年最新八年級數學競賽講座
第二十三講代數證明
代數證明主要是指證明代數中的一些相等關係或不等關係．
在初中階段，要證的等式一般可分為恒等式的證明和條件等式的證明．
恒等式的證明常用的方法有：
(1)由繁到簡，從一邊推向另一邊；
(2)從左右兩邊人手，相向推進；
(3)作差或作商證明，即證明：左邊一右邊=0，．
條件等式的證明實質是有根據、有目的的代數式恒等變換，證明的關鍵是尋找條件與結論的聯絡，既要注意已知條件的變換，使之有利於應用；又要考慮求證的需求情況，使之有利於與已知條件的溝通．
代數證明不同於幾何證明，幾何證明有直觀的圖形為依託，而代數證明卻取決於代數式化簡求值變形技巧、方法和思想的熟練運用．
例題求解
【例1】(1)求證：
（2）求證：．
思路點撥 (1)從較複雜的等式左邊推向等式右邊，注意左邊每個分式分子與分母的聯絡；(2)等式兩邊都較複雜，對左、右兩邊都作變形或作差比較．
注如果乙個等式的字母在條件允許範圍內的任意乙個值，使得等式總能成立，那麼這個等式叫做恒等式．把乙個式子變形為與原式恒等的另一種不同形式的式子，這種變形叫做恒等變形，形變值不變是恒等變形的特點．
代數式的化簡求值、代數證明其實質都是作恒等變形，分解、換元、引參、配方、分組、拆分，取倒數等是恒等變形常用的技巧與方法．
【例2】 已知，且．
求證：．
(黃岡市競賽題)
思路點撥從完全平方公式入手，推出 x、y與a、b間關係，尋找證題的突破口．
【例3】 有18支足球隊進行單迴圈賽，每個參賽隊同其他各隊進行一場比賽，假設比賽的結果沒有平局，如果用和，分別表示第i(i=1，2，3…18)支球隊在整個賽程中勝與負的局數．
求證：．
(天津市競賽題)
思路點撥作差比較，明確比賽規則下隱含的條件是證題的關鍵．
【例4】 已知，且．
求證：．
思路點撥條件中有乙個連等式，恰當引入引數，把待證式兩邊都變形為與引數相同的同乙個代數式．
【例5】 已知，證明：四個數、、、中至少有乙個不小於6．
(北京市競賽題)
思路點撥整體考慮，只需證明它們的和大於等於24即可．
注證明條件等式的關鍵是恰當地使用條件，常見的方法有：
(1)將已知條件直接代入求證式；
(2)變換已知條件，再代入求證式；
(3)綜合變形巳知條件，湊出求證式；
(4)根據求證式的需求，變換已知條件，湊出結果等．
不等關係證明類似於等式的證明，在證明過程中常用如下知識：
(1)若a—b>0，則a>b；
(2)若a—b<0，則a (3)；
(4)（x>0）；
(5)若，則中至少有乙個大於．
學力訓練
1．已知，，r=，求證：．
2．已知，．求證：．
3．已知：，求證：．
4．設的小數部分為，求證：．
5．設x、y、z為有理數，且(y—z)2+( x－y)2+(z—x)2=(y+z－2x)2+(z+x－2y)2+(x+y—2z)2，求證：．
(重慶市競賽題)
6．已知，求證：a：b：c=1：2：3．
7．已知，求證：x、y、z中至少有乙個為1．
8．若，記，證明：a是乙個整數． (匈牙利競賽題)
9．已知，求證：．
10．完成同一件工作，甲單獨做所需時間為乙、丙兩人合做所需時間的p倍，乙單獨做所需時間為甲、丙兩人合做所需時間的q倍；丙單獨做所需時間為甲、乙兩人合做所需時間的x倍，求證：．
(天津市競賽題)
11．設a、b、c均為正數，且，證明：．
12．如果正數a、b、c滿足，求證：．
(北京市競賽題)
13．設a、b、c都是實數，考慮如下3個命題：
①若，且c>1，則0②若c>1且0③若01．
試判斷哪些命題是正確的，哪些是不正確的，對你認為正確的命題給出證明；你認為不正確的命題，用反例予以否定． (武漢市選拔賽試題)
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