2023年全國初中數學聯合數學競賽試題
第一試一．選擇題
1．已知a＝－1，b＝－，c＝－，那麼a，b，c的大小關係是 ( )
(a) a＜b＜cb) a＜c＜bc) b＜a＜c (d) b＜c＜a
2. 方程x2＋2xy＋3y2＝34的整數解(x,y)的組數為 ( )
(a) 3b) 4c) 5d) 6
3. 已知正方形abcd的邊長為1，e為bc邊的延長線上一點，ce＝1，連線ae，與cd交於點f，連線bf並延長與線段de交於點g，則bg的長為 ( )
(abcd)
4. 已知實數a，b滿足a2＋b2＝1，則a4＋ab＋b4的最小值為 ( )
(ab) 0c) 1d)
5. 若方程x2＋2px－3p－2＝0的兩個不相等的實數根x1，x2滿足x12＋x13＝4－(x22＋x23)，
則實數p的所有可能的值之和為
(a) 0bc) -1d) -
6. 由1，2，3，4這四個數字組成四位數（數字可重複使用），要求滿足a＋c＝b＋d這樣的四位數共有( )
(a) 36個b)40個c)44個d) 48個
二．填空題
1. 已知互不相等的實數a，b，c滿足a＋＝b＋＝c＋＝t，則t＝________
2. 使得5×2m＋1是完全平方數的整數m的個數為________
3.在△abc中，已知ab＝ac，∠a＝40°，p為ab上一點，∠acp＝20°，則＝______
4.已知實數a，b，c滿足abc＝-1，a＋b＋c＝4，＋＋＝，則a2＋b2＋c2＝________
第二試一、已知直角三角形的邊長均為整數，周長為30，求它的外接圓的面積.
二、如圖，pa為⊙o的切線，pbc為⊙o的割線，ad⊥op於點d.
證明：ad2＝bdcd
三、已知拋物線y＝- x2＋bx＋c的頂點為p，與x軸的正半軸交於a(x1,0)、b(x2,0) 兩點
(x1＜x2)，與y軸交於點c，pa是△abc的外接圓的切線.設m(0, -)，若am∥bc，求拋物線的解析式.
參***
一．選擇題
二．填空題
1. ±12. 134.
第二試一、
解設直角三角形的三邊長分別為a，b，c（），則.
顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長，下面先求的值.
由及得，所以.
由及得，所以.
又因為為整數，所以.
根據勾股定理可得，把代入，化簡得，所以，
因為均為整數且，所以只可能是解得
所以，直角三角形的斜邊長，三角形的外接圓的面積為.
二、證明：連線oa，ob，oc.
∵oa⊥ap，ad⊥op，∴由射影定理可得，.
又由切割線定理可得，∴，∴d、b、c、o四點共圓，
∴∠pdb＝∠pco＝∠obc＝∠odc，∠pbd＝∠cod，∴△pbd∽△cod，
∴，∴.
三、解易求得點p，點c.
設△abc的外接圓的圓心為d，則點p和點d都**段ab的垂直平分線上，設點d的座標為.
顯然，是一元二次方程的兩根，所以，，又ab的中點e的座標為，所以ae＝.
因為pa為⊙d的切線，所以pa⊥ad，又ae⊥pd，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.
又由da＝dc得，即，把代入後可解得（另一解捨去）.
又因為am//bc，所以，即.
把代入解得（另一解捨去）.
因此，拋物線的解析式為.
2023年全國初中數學聯合競賽試題
初二年級 第一試 3月20日上午8 30 9 30 考生注意 1.本試兩個大題共10個小題，全卷滿分70分.2.用原子筆或鋼筆作答.3.解題書寫不要超出裝訂線.一 選擇題 本題滿分42分，每小題7分 本題共有6個小題，每題均給出了代號為a，b，c，d的四個答案，其中有且僅有乙個是正確的.將你所選擇的...
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一 填空題 每小題8分，共64分 1.已知函式，則 答案 提示 2.設 兩點分別在拋物線和圓上，則的取值範圍是 答案 提示 由於，則只需要考慮的範圍 而 又，故，故的取值範圍為 3.若，則的最大值為 答案 提示 因為，所以 所以，即的最大值為 4.已知 為等腰直角三角形，其中為直角，過點作平面的垂線...
全國高中數學聯賽江蘇賽區2023年初賽試題答案
班級姓名 一 填空題 本題共10小題，滿分70分，每小題7分 1 複數 解 2 已知直線是圓的一條對稱軸，則實數 解 直線一定經過圓心，才能是圓的對稱軸 而圓心為，代入直線方程，得 3 某班共有30名學生，若隨機抽查兩位學生的作業，則班長或團支書的作業被抽中的概率是 結果用最簡分數表示 解 事件總數...