【課程說明】
由於培優大綱順序和本課程順序不同，所以在學習此課程時，有些講次安排打亂了，重新排序不會影響知識點的學習。
【課程目標】
提公升興趣
※激發學生學習的主動性，樂於思考，樂於學習
培養習慣
※傳授給學生正確的數學學習習慣，解題習慣
收穫成績
※通過正確的引導幫助孩子提高成績，積累成就感和自信心
目錄第一講高斯求和
第二講找簡單數列的規律
第三講上樓梯問題
第四講植樹與方陣問題
第五講歸一問題
第六講平均數問題
第七講和倍問題
第八講差倍問題
第九講和差問題
第十講年齡問題
第十一講雞兔同籠問題
第十二講盈虧問題
第十三講巧求周長
第一講高斯求和
德國著名數學家高斯幼年時代聰明過人，上學時，有一天老師出了一道題讓同學們計算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老師出完題後，全班同學都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等於5050。高斯為什麼算得又快又準呢？原來小高斯通過細心觀察發現：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成這樣的50對數，每對數的和都相等。於是，小高斯把這道題巧算為
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的這種求和方法，真是聰明極了，簡單快捷，並且廣泛地適用於「等差數列」的求和問題。
若干個數排成一列稱為數列，數列中的每乙個數稱為一項，其中第一項稱為首項，最後一項稱為末項。後項與前項之差都相等的數列稱為等差數列，後項與前項之差稱為公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，…，100；
（2）1，3，5，7，9，…，99；
（3）8，15，22，29，36，…，71。
其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數列；
（2）是首項為1，末項為99，公差為2的等差數列；
（3）是首項為8，末項為71，公差為7的等差數列。
由高斯的巧算方法，得到等差數列的求和公式：
和=（首項+末項）×項數÷2。
【典型例題】
例1、 1＋2＋3＋…＋1999＝？
例2、 11＋12＋13＋…＋31＝？
例3 、3＋7＋11＋…＋99＝？
例4 、求首項是25，公差是3的等差數列的前40項的和。
例5、 在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘公尺2，邊長是1根火柴棍。問：
（1）最大三角形的面積是多少平方厘公尺？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？
例6 、盒子裡放有三隻桌球，一位魔術師第一次從盒子裡拿出乙隻球，將它變成3只球後放回盒子裡；第二次又從盒子裡拿出二只球，將每只球各變成3只球後放回盒子裡……第十次從盒子裡拿出十隻球，將每只球各變成3只球後放回到盒子裡。這時盒子裡共有多少只桌球？
練習 1.計算下列各題：
（1）2＋4＋6＋…＋2002）17＋19＋21＋…＋39；
（3）5＋8＋11＋14＋…＋50； （4）3＋10＋17＋24＋…＋101。
2.求首項是5，末項是93，公差是4的等差數列的和。
3.求首項是13，公差是5的等差數列的前30項的和。
4.時鐘在每個整點敲打，敲打的次數等於該鐘點數，每半點鐘也敲一下。問：時鐘一晝夜敲打多少次？
5.求100以內除以3餘2的所有數的和。
6.在所有的兩位數中，十位數比個位數大的數共有多少個？
第二講找簡單數列的規律
這一講我們先介紹什麼是「數列」，然後講如何發現和尋找「數列」的規律。
按一定次序排列的一列數就叫數列。例如，
(1) 1，2，3，4，5，6，…
(2) 1，2，4，8，16，32；
(3) 1，0，0，1，0，0，1，…
(4) 1，1，2，3，5，8，13。
乙個數列中從左至右的第n個數，稱為這個數列的第n項。如，數列(1)的第3項是3，數列(2)的第3項是4。一般地，我們將數列的第n項記作an。
數列中的數可以是有限多個，如數列(2)(4)，也可以是無限多個，如數列(1)(3)。
許多數列中的數是按一定規律排列的，我們這一講就是講如何發現這些規律。
數列(1)是按照自然數從小到大的次序排列的，也叫做自然數數列，其規律是：後項=前項+1，或第n項an＝n。
數列(2)的規律是：後項=前項×2，或第n項
數列(3)的規律是：「1，0，0」周而復始地出現。
數列(4)的規律是：從第三項起，每項等於它前面兩項的和，即
a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+3＝5，
a6=3+5=8，a7=5+8=13。
常見的較簡單的數列規律有這樣幾類：
第一類是數列各項只與它的項數有關，或只與它的前一項有關。例如數列(1)(2)。
第二類是前後幾項為一組，以組為單元找關係才可找到規律。例如數列(3)(4)。
第三類是數列本身要與其他數列對比才能發現其規律。這類情形稍為複雜些，我們用後面的例3、例4來作一些說明。
【典型例題】
例1 找出下列各數列的規律，並按其規律在( )內填上合適的數：
(1)4，7，10，13，( )，…
(2)84，72，60
(3)2，6，18
(4)625，125，25
(5)1，4，9，16，( )，…
(6)2，6，12，20
例2 找出下列各數列的規律，並按其規律在( )內填上合適的數：
(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；
(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；
(3) 3，7，10，17，27，( )；
(4) 1，2，2，4，8，32，( )。
例3 找出下列各數列的規律，並按其規律在( )內填上合適的數：
(1)18，20，24，30，( )；
(2)11，12，14，18，26，( )；
(3)2，5，11，23，47，( )，( )。
例4 找出下列各數列的規律，並按其規律在( )內填上合適的數：
(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；
(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。
練習1、按其規律在下列各數列的( )內填數。
1. 56，49，42，35，( )。
2. 11， 15， 19， 23，( )，…
3. 3，6，12，24，( )。
4. 2，3，5，9，17，( )，…
5. 1，3，4，7，11，( )。
6. 1，3，7，13，21，( )。
7. 3，5，3，10，3，15
8. 8，3，9，4，10，5
9. 2，5，10，17，26，( )。
10. 15，21，18，19，21，17
11. 數列1，3，5，7，11，13，15，17。
(1)如果其中缺少乙個數，那麼這個數是幾？應補在何處？
(2)如果其中多了乙個數，那麼這個數是幾？為什麼？
2、觀察下面的數列，找出其中的規律，並根據規律，在括號中填上合適的數.
①2，5，8，11，（ ），17，20。
②19，17，15，13，（ ），9，7。
③1，3，9，27，（ ），243。
④64，32，16，8，（ ），2。
⑤1，1，2，3，5，8，（ ），21，34…
⑥1，3，4，7，11，18，（ ），47…
⑦1，3，6，10，（ ），21，28，36，（ ）.
⑧1，2，6，24，120，（ ），5040。
⑨1，1，3，7，13，（ ），31。
⑩1，3，7，15，31，（ ），127，255。
(11)1，4，9，16，25，（ ），49，64。
(12)0，3，8，15，24，（ ），48，63。
(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（ ）.
(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（ ）.
3、按一定的規律在括號中填上適當的數：
1.1，2，3，4，5，（ ），7…
2.100，95，90，85，80，（ ），70
3.1，2，4，8，16，（ ），64
5.2，1，3，4，7，（ ），18，29，47
6.1，2，5，10，17，（ ），37，50
7.1，8，27，64，125，（ ），343
8.1，9，2，8，3，（ ），4，6，5，5
第三講上樓梯問題
有這樣一道題目：如果每上一層樓梯需要1分鐘，那麼從一層上到四層需要多少分鐘？如果你的答案是4分鐘，那麼你就錯了.正確的答案應該是3分鐘。
為什麼是3分鐘而不是4分鐘呢？原來從一層上到四層，只要上三層樓梯，而不是四層樓梯。
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專題一 用加減法解應用題 1 某小學三年級有四個班，一 二班有98人，二 三班有93人，三 四班有87人，求 一 四班有多少人？2 有甲 乙 丙 丁四個數，已知甲和乙的和是23，乙和丙的和是26，丙和丁的和是29，求甲和丁的和是多少？3 小明期末考試考了語文 數學 英語 科學四門功課，語文和數學的均...
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