普通高考數學科一輪複習精品學案
第10講空間中的平行關係
一．課標要求：
1．平面的基本性質與推論
借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面的位置關係的基礎上，抽象出空間線、面位置關係的定義，並了解如下可以作為推理依據的公理和定理：
◆公理1：如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線在此平面內；
◆公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有乙個平面；
◆公理3：如果兩個不重合的平面有乙個公共點，那麼它們有且只有一條過該點的公共直線；
◆公理4：平行於同一條直線的兩條直線平行；
◆定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那麼這兩個角相等或互補。
2．空間中的平行關係
以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質與判定。通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：
◆平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；
◆乙個平面內的兩條相交直線與另乙個平面平行，則這兩個平面平行；
通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質定理，並加以證明：
◆一條直線與乙個平面平行，則過該直線的任乙個平面與此平面的交線與該直線平行；
◆兩個平面平行，則任意乙個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行；
◆垂直於同乙個平面的兩條直線平行
能運用已獲得的結論證明一些空間位置關係的簡單命題。
二．命題走向
立體幾何在高考中佔據重要的地位，通過近幾年的高考情況分析，考察的重點及難點穩定，高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質和判定作為考察重點。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現平面到空間的轉化，示知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重。
**2023年高考將以多面體為載體直接考察線面位置關係：
（1）考題將會出現乙個選擇題、乙個填空題和乙個解答題；
（2）在考題上的特點為：熱點問題為平面的基本性質，考察線線、線面和麵麵關係的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主。
三．要點精講
1．平面概述
（1）平面的兩個特徵：①無限延展 ②平的（沒有厚度）
（2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面
（3）平面的表示：用乙個小寫的希臘字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面ac。
2．三公理三推論:
公理1：若一條直線上有兩個點在乙個平面內，則該直線上所有的點都在這個平面內：
a,b,a,b
公理2：如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線。
公理3：經過不在同一直線上的三點，有且只有乙個平面。
推論一：經過一條直線和這條直線外的一點,有且只有乙個平面。
推論二：經過兩條相交直線,有且只有乙個平面。
推論三：經過兩條平行直線,有且只有乙個平面。
3．空間直線:
（1）空間兩條直線的位置關係：
相交直線——有且僅有乙個公共點；
平行直線——在同一平面內，沒有公共點；
異面直線——不同在任何乙個平面內，沒有公共點。相交直線和平行直線也稱為共面直線。
異面直線的畫法常用的有下列三種：
（2）平行直線：
在平面幾何中，平行於同一條直線的兩條直線互相平行，這個結論在空間也是成立的。即公理4：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。
（3）異面直線定理：鏈結平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線。推理模式： 與a是異面直線。
4．直線和平面的位置關係
（1）直線在平面內（無數個公共點）；
（2）直線和平面相交（有且只有乙個公共點）；
（3）直線和平面平行（沒有公共點）——用兩分法進行兩次分類。
它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，，。
線面平行的判定定理：如果不在乙個平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那麼這條直線和這個平面平行。推理模式：．
線面平行的性質定理：如果一條直線和乙個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那麼這條直線和交線平行。推理模式：．
5．兩個平面的位置關係有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點）
（1）兩個平面平行的判定定理：如果乙個平面內有兩條相交直線都平行於乙個平面，那麼這兩個平面平行。
定理的模式：
推論：如果乙個平面內有兩條相交直線分別平行於另乙個平面內的兩條相交直線，那麼這兩個平面互相平行。
推論模式：
（2）兩個平面平行的性質（1）如果兩個平面平行，那麼其中乙個平面內的直線平行於另乙個平面；（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那麼它們的交線平行。
思維總結
在掌握直線與平面的位置關係(包括直線與直線、直線與平面、平面與平面間的位置關係)的基礎上，研究有關平行的判定依據(定義、公理和定理)、判定方法及有關性質的應用；在有關問題的解決過程中，進一步了解和掌握相關公理、定理的內容和功能，並探索立體幾何中論證問題的規律；在有關問題的分析與解決的過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉化的數學思想的應用．
1．用模擬的思想去認識面的垂直與平行關係，注意垂直與平行間的聯絡。
2．注意立體幾何問題向平面幾何問題的轉化，即立幾問題平面化。
3．注意下面的轉化關係：
4．直線和平面相互平行
證明方法：證明直線和這個平面內的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面內的乙個向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。
5．證明兩平面平行的方法：
（1）利用定義證明。利用反證法，假設兩平面不平行，則它們必相交，再匯出矛盾。
（2）判定定理：乙個平面內有兩條相交直線都平行於另乙個平面，則這兩個平面平行，這個定理可簡記為線面平行則麵麵平行。用符號表示是：
a∩b，a α，b α，a∥β，b∥β，則α∥β。
（3）垂直於同一直線的兩個平面平行。用符號表示是：a⊥α，a⊥β則α∥β。
（4）平行於同乙個平面的兩個平面平行。
兩個平面平行的性質有五條：
（1）兩個平面平行，其中乙個平面內的任一直線必平行於另乙個平面，這個定理可簡記為：「面面平行，則線面平行」。用符號表示是：α∥β，a α，則a∥β。
（2）如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那麼它們的交線平行，這個定理可簡記為：「面面平行，則線線平行」。用符號表示是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b。
（3）一條直線垂直於兩平行平面中的乙個平面,它也垂直於另乙個平面。這個定理可用於證線面垂直。用符號表示是：α∥β，a⊥α，則a⊥β。
（4）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。
（5）過平面外一點只有乙個平面與已知平面平行。
個平面互相垂直，那麼在乙個平面內垂直於它們的交線的直線垂直於另乙個平面。
第11講空間中的垂直關係
一．課標要求：
以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定。
通過直觀感知、操作確認，歸納出以下判定定理：
◆一條直線與乙個平面內的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。
◆ 乙個平面過另乙個平面的垂線，則兩個平面垂直。
通過直觀感知、操作確認，歸納出以下性質定理，並加以證明：
◆兩個平面垂直，則乙個平面內垂直於交線的直線與另乙個平面垂直。
能運用已獲得的結論證明一些空間位置關係的簡單命題。
二．命題走向
近年來，立體幾何高考命題形式比較穩定，題目難易適中，常常立足於稜柱、稜錐和正方體，複習是要以多面體為依託，始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面垂直的性質和判定作為考察重點。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現平面到空間的轉化，示知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重。
**2023年高考將以多面體為載體直接考察線面位置關係：
（1）考題將會出現乙個選擇題、乙個填空題和乙個解答題；
（2）在考題上的特點為：熱點問題為平面的基本性質，考察線線、線面和麵麵關係的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主。
（3）解答題多採用一題多問的方式，這樣既降低了起點又分散了難點。
三．要點精講
1．線線垂直
判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直於平行線中的一條，必垂直於另一條。
三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它也和這條斜線垂直。
三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直。
推理模式：。
注意：⑴三垂線指pa，po，ao都垂直α內的直線a 其實質是：斜線和平面內一條直線垂直的判定和性質定理⑵要考慮a的位置，並注意兩定理交替使用。
2．線面垂直
定義：如果一條直線l和乙個平面α相交，並且和平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面α互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面α叫做直線l的垂面,直線與平面的交點叫做垂足。直線l與平面α垂直記作：
l⊥α。
直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。
直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直於乙個平面,那麼這兩條直線平行。
3．面面垂直
兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。
兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）
如果乙個平面經過另乙個平面的一條垂線，那麼這兩個平面互相垂直。
兩平面垂直的性質定理：（面面垂直線面垂直）若兩
思維總結
1．通過典型問題掌握基本解題方法，高考中立體幾何解答題基本題型是：
（ⅰ）證明空間線面平行或垂直；
（ⅱ）求空間中線面的夾角或距離；
（ⅲ）求幾何體的側面積及體積。
證明空間線面平行或垂直需注意以下幾點：
①由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路。
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公理1 一條直線。上如果有兩個不同的點在平面。內 則這條直線在這個平面內，記作 aa 公理2 兩個平面如果有乙個公共點，則有且只有一條通過這個點的公共直線，即若p 則存在唯一的直線m，使得 m,且p m。公理3 過不在同一條直線上的三個點有且只有乙個平面。即不共線的三點確定乙個平面 推論l 直線與直...
立體幾何所用空間向量基礎知識彙總
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基礎練習 立體幾何
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