第十二章立體幾何
一、基礎知識
公理1 一條直線。上如果有兩個不同的點在平面。內．則這條直線在這個平面內，記作：aa．
公理2 兩個平面如果有乙個公共點，則有且只有一條通過這個點的公共直線，即若p∈α∩β，則存在唯一的直線m，使得α∩β=m,且p∈m。
公理3 過不在同一條直線上的三個點有且只有乙個平面。即不共線的三點確定乙個平面．
推論l 直線與直線外一點確定乙個平面．
推論2 兩條相交直線確定乙個平面．
推論3 兩條平行直線確定乙個平面．
公理4 在空間內，平行於同一直線的兩條直線平行．
定義1 異面直線及成角：不同在任何乙個平面內的兩條直線叫做異面直線．過空間任意一點分別作兩條異面直線的平行線，這兩條直線所成的角中，不超過900的角叫做兩條異面直線成角．與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線，公垂線夾在兩條異面直線之間的線段長度叫做兩條異面直線之間的距離．
定義2 直線與平面的位置關係有兩種；直線在平面內和直線在平面外．直線與平面相交和直線與平面平行(直線與平面沒有公共點叫做直線與平面平行)統稱直線在平面外．
定義3 直線與平面垂直：如果直線與平面內的每一條直線都垂直，則直線與這個平面垂直．
定理1 如果一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直．
定理2 兩條直線垂直於同乙個平面，則這兩條直線平行．
定理3 若兩條平行線中的一條與乙個平面垂直，則另一條也和這個平面垂直．
定理4 平面外一點到平面的垂線段的長度叫做點到平面的距離，若一條直線與平面平行，則直線上每一點到平面的距離都相等，這個距離叫做直線與平面的距離．
定義5 一條直線與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線．由斜線上每一點向平面引垂線，垂足叫這個點在平面上的射影．所有這樣的射影在一條直線上，這條直線叫做斜線在平面內的射影．斜線與它的射影所成的銳角叫做斜線與平面所成的角．
結論1 斜線與平面成角是斜線與平面內所有直線成角中最小的角．
定理4 (三垂線定理)若d為平面。的一條斜線，b為它在平面a內的射影，c為平面a內的一條直線，若cb，則ca．逆定理：若ca，則cb．
定理5 直線d是平面a外一條直線，若它與平面內一條直線b平行，則它與平面a平行
定理6 若直線。與平面α平行，平面β經過直線a且與平面a交於直線6，則a//b．
結論2 若直線。與平面α和平面β都平行，且平面α與平面β相交於b，則a//b．
定理7 (等角定理)如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行且方向相同，則兩個角相等．
定義6 平面與平面的位置關係有兩種：平行或相交．沒有公共點即平行，否則即相交．
定理8 平面a內有兩條相交直線a，b都與平面β平行，則α//β.
定理9 平面α與平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，則a//b．
定義7 (二面角)，經過同一條直線m的兩個半平面α,β(包括直線m，稱為二面角的稜)所組成的圖形叫二面角，記作α—m—β，也可記為a—m一b，α—ab—β等．過稜上任意一點p在兩個半平面內分別作稜的垂線ap，bp，則∠apb(≤900)叫做二面角的平面角．
它的取值範圍是[0，π]．
特別地，若∠apb＝900，則稱為直二面角，此時平面與平面的位置關係稱為垂直，即αβ.
定理10 如果乙個平面經過另乙個平面的垂線，則這兩個平面垂直．
定理11 如果兩個平面垂直，過第乙個平面內的一點作另乙個平面的垂線在第乙個平面內．
定理12 如果兩個平面垂直，過第乙個子面內的一點作交線的垂線與另乙個平面垂直．
定義8 有兩個面互相平行而其餘的面都是平行四邊形，並且每相鄰兩個平行四邊形的公共邊(稱為側稜)都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做稜柱．兩個互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四邊形則叫做平行六面體；側稜與底面垂直的稜柱叫直稜柱；底面是正多邊形的直稜柱叫做正稜柱．底面是矩形的直稜柱叫做長方體．稜長都相等的正四稜柱叫正方體．
定義9 有乙個面是多邊形(這個面稱為底面)，其餘各面是乙個有公共頂點的三角形的多面體叫稜錐．底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面的中心的稜錐叫正稜錐．
定理13 (凸多面體的尤拉定理)設多面體的頂點數為v，稜數為e，面數為f，則
v+f-e=2．
定義10 空間中到乙個定點的距離等於定長的點的軌跡是乙個球面．球面所圍成的幾何體叫做球．定長叫做球的半徑，定點叫做球心．
定理14 如果球心到平面的距離d小於半徑r，那麼平面與球相交所得的截面是圓面，圓心與球心的連線與截面垂直．設截面半徑為r，則d2+r2＝r2．過球心的截面圓周叫做球大圓．經過球面兩點的球大圓夾在兩點間劣弧的長度叫兩點間球面距離．
定義11 (經度和緯度)用平行於赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做緯線．緯線上任意一點與球心的連線與赤道平面所成的角叫做這點的緯度．用經過南極和北極的平面去截地球所得到的截面半圓周(以兩極為端點)叫做經線，經線所在的平面與本初子午線所在的半平面所成的二面角叫做經度，根據位置不同又分東經和西經．
定理15 (祖原理)夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行於這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那麼這兩個幾何體的體積相等.
定理16 (三面角定理)從空間一點出發的不在同乙個平面內的三條射線共組成三個角．其中任意兩個角之和大於另乙個，三個角之和小於3600．
定理17 （面積公式）若乙個球的半徑為r，則它的表面積為s球面=4πr2。若乙個圓錐的母線長為l，底面半徑為r，則它的側面積s側=πrl.
定理18 （體積公式）半徑為r的球的體積為v球=；若稜柱（或圓柱）的底面積為s，高h，則它的體積為v=sh；若稜錐（或圓錐）的底面積為s，高為h，則它的體積為v=
定理19 如圖12-1所示，四面體abcd中，記∠bdc=α，∠adc=β，∠adb=γ，∠bac=a，∠abc=b，∠acb=c。dh平面abc於h。
（1）射影定理：sδabdcosф=sδabh，其中二面角d—ab—h為ф。
（2）正弦定理：
（3）餘弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosa.
cosa=-cosbcosc+sinbsinccosα.
（4）四面體的體積公式dhsδabc
=（其中d是a1, a之間的距離，是它們的夾角）
sδabdsδacdsinθ(其中θ為二面角b—ad—c的平面角)。
二、方法與例題
1．公理的應用。
例1 直線a,b,c都與直線d相交，且a//b,c//b，求證：a,b,c,d共面。
[證明] 設d與a,b,c分別交於a,b,c,因為b與d相交，兩者確定乙個平面，設為a.又因為a//b，所以兩者也確定乙個平面，記為β。因為a∈α，所以a∈β，因為b∈b，所以b∈β，所以dβ.
又過b,d的平面是唯一的，所以α，β是同乙個平面，所以aα.同理cα.即a,b,c,d共面。
例2 長方體有乙個截面是正六邊形是它為正方體的什麼條件？
[解] 充要條件。先證充分性，設圖12-2中pqrstk是長方體abcd-a1b1c1d1的正六邊形截面，延長pq，sr設交點為o，因為直線sr平面cc1d1d，又o∈直線sr，所以o∈平面cc1d1d，又因為直線pq平面a1b1c1d1，又o∈直線pq，所以o∈平面a1b1c1d1。所以o∈直線c1d1，由正六邊形性質知，∠orq=∠oqr=600，所以δorq為正三角形，因為cd//c1d1，所以=1。
所以r是cc1中點，同理q是b1c1的中點，又δorc1≌δoqc1，所以c1r=c1q，所以cc1=c1b1，同理cd=cc1，所以該長方體為正方體。充分性得證。必要性留給讀者自己證明。
2．異面直線的相關問題。
例3 正方體的12條稜互為異面直線的有多少對？
[解] 每條稜與另外的四條稜成異面直線，重複計數一共有異面直線12×4=48對，而每一對異面直線被計算兩次，因此一共有24對。
例4 見圖12-3，正方體，abcd—a1b1c1d1稜長為1，求面對角線a1c1與ab1所成的角。
[解] 鏈結ac，b1c，因為a1ab1bc1c，所以a1ac1c，所以a1acc1為平行四邊形，所以a1c1ac。
所以ac與ab1所成的角即為a1c1與ab1所成的角，由正方體的性質ab1=b1c=ac，所以∠b1ac=600。所以a1c1與ab1所成角為600。
3．平行與垂直的論證。
例5 a，b，c，d是空間四點，且四邊形abcd四個角都是直角，求證：四邊形abcd是矩形。
[證明] 若abcd是平行四邊形，則它是矩形；若abcd不共面，設過a，b，c的平面為α，過d作dd1α於d1，見圖12-4，鏈結ad1，cd1，因為abad1，又因為dd1平面α，又abα，所以dd1ab，所以ab平面add1，所以abad1。同理bccd1，所以abcd1為矩形，所以∠ad1c=900，但ad1例6 乙個四面體有兩個底面上的高線相交。證明：
它的另兩條高線也相交。
[證明] 見圖12-5，設四面體abcd的高線ae與bf相交於o，因為ae平面bcd，所以aecd，bf平面acd，所以bfcd，所以cd平面abo，所以cdab。設四面體另兩條高分別為cm，dn，鏈結**，因為dn平面abc，所以dnab，又abcd，所以ab平面cdn，所以ab**。設**交ab於p，鏈結pd，作pd於，因為ab平面cdn，所以ab，所以平面abd，即為四面體的高，所以與cm重合，所以cm，dn為δpcd的兩條高，所以兩者相交。
例7 在矩形abcd中，ad=2ab，e是ad中點，沿be將δabe折起，並使ac=ad，見圖12-6。求證：平面abe平面bcde。
[證明] 取be中點o，cd中點m，鏈結ao，om，od，oc，則om//bc，又cdbc，所以omcd。又因為ac=ad，所以amcd，所以cd平面aom，所以aocd。又因為ab=ae，所以aobe。
因為ed≠bc，所以be與cd不平行，所以be與cd是兩條相交直線。所以ao平面bc-de。又直線ao平面abe。
所以平面abe平面bcde。
立體幾何基礎知識
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