第五章數列
一、基礎知識
定義1 數列，按順序給出的一列數，例如1，2，3，…，n，…. 數列分有窮數列和無窮數列兩種，數列的一般形式通常記作a1, a2, a3,…，an或a1, a2, a3,…，an…。其中a1叫做數列的首項，an是關於n的具體表示式，稱為數列的通項。
定理1 若sn表示的前n項和，則s1=a1, 當n>1時，an=sn-sn-1.
定義2 等差數列，如果對任意的正整數n，都有an+1-an=d（常數），則稱為等差數列，d叫做公差。若三個數a, b, c成等差數列，即2b=a+c，則稱b為a和c的等差中項，若公差為d, 則a=b-d, c=b+d.
定理2 等差數列的性質：1）通項公式an=a1+(n-1)d；2）前n項和公式：sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m為正整數；4）若n+m=p+q，則an+am=ap+aq；5）對任意正整數p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若a，b至少有乙個不為零，則是等差數列的充要條件是sn=an2+bn.
定義3 等比數列，若對任意的正整數n，都有，則稱為等比數列，q叫做公比。
定理3 等比數列的性質：1）an=a1qn-1；2）前n項和sn，當q1時，sn=；當q=1時，sn=na1；3）如果a, b, c成等比數列，即b2=ac(b0)，則b叫做a, c的等比中項；4）若m+n=p+q，則aman=apaq。
定義4 極限，給定數列和實數a，若對任意的》0，存在m，對任意的n>m(n∈n),都有|an-a|<，則稱a為n→+∞時數列的極限，記作
定義5 無窮遞縮等比數列，若等比數列的公比q滿足|q|<1，則稱之為無窮遞增等比數列，其前n項和sn的極限（即其所有項的和）為（由極限的定義可得）。
定理3 第一數學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)時n=k成立時能推出p(n)對n=k+1成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數n≥n0成立。
競賽常用定理
定理4 第二數學歸納法：給定命題p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）當p(n)對一切n≤k的自然數n都成立時（k≥n0）可推出p(k+1)成立，則由（1），（2）可得命題p(n)對一切自然數n≥n0成立。
定理5 對於齊次二階線性遞迴數列xn=axn-1+bxn-2，設它的特徵方程x2=ax+b的兩個根為α,β:(1)若αβ，則xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始條件x1, x2的值確定；(2)若α=β，則xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值確定。
二、方法與例題
1．不完全歸納法。
這種方法是從特殊情況出發去總結更一般的規律，當然結論未必都是正確的，但卻是人類探索未知世界的普遍方式。通常解題方式為：特殊→猜想→數學歸納法證明。
例1 試給出以下幾個數列的通項（不要求證明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。
【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.
例2 已知數列滿足a1=,a1+a2+…+an=n2an, n≥1，求通項an.
【解】 因為a1=,又a1+a2=22·a2,
所以a2=，a3=,猜想(n≥1).
證明；1）當n=1時，a1=，猜想正確。2）假設當n≤k時猜想成立。
當n=k+1時，由歸納假設及題設，a1+ a1+…+a1=[(k+1)2-1] ak+1,，
所以=k(k+2)ak+1,
即=k(k+2)ak+1,
所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=
由數學歸納法可得猜想成立，所以
例3 設01.
【證明】 證明更強的結論：11)當n=1時，12)假設n=k時，①式成立，即1由數學歸納法可得①式成立，所以原命題得證。
2．迭代法。
數列的通項an或前n項和sn中的n通常是對任意n∈n成立，因此可將其中的n換成n+1或n-1等，這種辦法通常稱迭代或遞推。
例4 數列滿足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q0，求證：存在常數c，使得·an+
【證明】·an+1+ (pan+1+an+2)+ =an+2·(-qan)+ =
+an(pqn+1+qan)]=q().
若=0，則對任意n, +=0，取c=0即可.
若0，則是首項為，公式為q的等比數列。
所以+=·qn.
取·即可.
綜上，結論成立。
例5 已知a1=0, an+1=5an+，求證：an都是整數，n∈n+.
【證明】 因為a1=0, a2=1，所以由題設知當n≥1時an+1>an.
又由an+1=5an+移項、平方得
①當n≥2時，把①式中的n換成n-1得，即
②因為an-1再由a1=0, a2=1及③式可知，當n∈n+時，an都是整數。
3．數列求和法。
數列求和法主要有倒寫相加、裂項求和法、錯項相消法等。
例6 已知an= (n=1, 2, …)，求s99=a1+a2+…+a99.
【解】 因為an+a100-n=+=，
所以s99=
例7 求和： +…+
【解】 一般地，
，所以sn=
例8 已知數列滿足a1=a2=1，an+2=an+1+an, sn為數列的前n項和，求證：sn<2。
【證明】 由遞推公式可知，數列前幾項為1，1，2，3，5，8，13。
因為， ①
所以由①-②得，
所以。又因為sn-2所以sn, 所以，
所以sn<2，得證。
4．特徵方程法。
例9 已知數列滿足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an.
【解】 由特徵方程x2=4x-4得x1=x2=2.
故設an=(α+βn)·2n-1，其中，
所以α=3，β=0，
所以an=3·2n-1.
例10 已知數列滿足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通項an.
【解】 由特徵方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1,
所以an=α·3n+β·(-1)n，其中，
解得α=，β，
所以·3]。
5．構造等差或等比數列。
例11 正數列a0,a1,…,an,…滿足=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通項。
【解】 由得=1，
即令bn=+1，則是首項為+1=2，公比為2的等比數列，
所以bn=+1=2n，所以=（2n-1）2，
所以an=·…··a0=
注： c1·c2·…·cn.
例12 已知數列滿足x1=2, xn+1=,n∈n+, 求通項。
【解】 考慮函式f(x)=的不動點，由=x得x=
因為x1=2, xn+1=,可知的每項均為正數。
又+2≥，所以xn+1≥(n≥1)。又
xn+1
xn+1
由①÷②得
又》0，
由③可知對任意n∈n+， >0且,
所以是首項為，公比為2的等比數列。
所以·，所以，
解得·。
注：本例解法是借助於不動點，具有普遍意義。
三、基礎訓練題
1． 數列滿足x1=2, xn+1=sn+(n+1)，其中sn為前n項和，當n≥2時，xn
2. 數列滿足x1=，xn+1=,則的通項xn
3. 數列滿足x1=1，xn=+2n-1(n≥2)，則的通項xn
4. 等差數列滿足3a8=5a13，且a1>0, sn為前n項之和，則當sn最大時，n
5. 等比數列前n項之和記為sn,若s10=10，s30=70，則s40
6. 數列滿足xn+1=xn-xn-1(n≥2)，x1=a, x2=b, sn=x1+x2+…+ xn，則s100
7. 數列中，sn=a1+a2+…+an=n2-4n+1則|a1|+|a2|+…+|a10
8. 若，並且x1+x2+…+ xn=8，則x1
9. 等差數列，的前n項和分別為sn和tn，若，則
10. 若n!=n(n-1)…2·1, 則
11．若是無窮等比數列，an為正整數，且滿足a5+a6=48, log2a2·log2a3+ log2a2·log2a5+ log2a2·log2a6+ log2a5·log2a6=36，求的通項。
12．已知數列是公差不為零的等差數列，數列{}是公比為q的等比數列，且b1=1, b2=5, b3=17, 求：（1）q的值；（2）數列的前n項和sn。
四、高考水平訓練題
1．已知函式f(x)=，若數列滿足a1=，an+1=f(an)(n∈n+)，則a2006
2．已知數列滿足a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則的通項an=.
3. 若an=n2+, 且是遞增數列，則實數的取值範圍是
4. 設正項等比數列的首項a1=, 前n項和為sn, 且210s30-（210+1）s20+s10=0，則an
5. 已知，則a的取值範圍是
6．數列滿足an+1=3an+n(n ∈n+) ，存在_________個a1值，使成等差數列；存在________個a1值，使成等比數列。
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