九年級(上)知識點歸納總結
第一章圖形與證明(二)
1.1 等腰三角形的性質和判定
◇。等腰三角形的性質定理:
等腰三角形的兩底角相等(簡稱「等邊對等角」)。
等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(簡稱「三線合一」)。
◇。等腰三角形的判定定理:
如果乙個三角形的兩個角相等,那麼這兩個角所對的邊也相等(簡稱「等角對等邊」)。
1.2 直角三角形全等的判定
◇。直角三角形全等的判定定理:
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(簡寫為「hl」)。
◇。角平分線的性質:
角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
◇。角平分線的判定:
角的內部到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上。
☆。直角三角形中,30°的角所對的直角邊事斜邊的一半。
1.3 平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定
◇。平行四邊形的性質與判定:
定義:兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
定理1:平行四邊形的對邊相等。
定理2:平行四邊形的對角相等。
定理3:平行四邊形的對角線互相平分。
判定——從邊:1、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
2、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
3、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
從角:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。
對角線:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
◇。矩形的性質與判定:
定義:有乙個角的直角的平行四邊形是矩形。
定理1:矩形的4個角都是直角。
定理2:矩形的對角線相等。
定理:直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
判定:1、有三個角是直角的四邊形是矩形。
2、對角線相等的平行四邊形是矩形。
◇。菱形的性質與判定:
定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
定理1:菱形的4邊都相等。
定理2:菱形的對角線相互垂直,並且每一條對角線平分一組對角。
判定:1、四條邊都相等的四邊形是菱形。
2、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
◇。正方形的性質與判定:
正方形的4個角都是直角,4條邊都相等,對角線相等且互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。
正方形即是特殊的矩形,又是特殊的菱形,它具有矩形和菱形的所有性質。
判定:1、有乙個角是直角的菱形是正方形。
2、有一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形。
1.4 等腰梯形的性質與判定
◇。定義:兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。
定理1:等腰梯形同一底上的兩底角相等。
定理2:等腰梯形的兩條對角線相等。
◇。判定:1、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。
2、對角線相等的梯形是等腰梯形。
1.5 中位線
◇。三角形的中位線平行於第三邊,並且等於第三邊的一半。
◇。梯形的中位線平行於兩底,並且等於兩底的一半。
◇。中點四邊形:依次連線乙個四邊形各邊中點所得到的四邊形稱為中點四邊形(中點四邊形一定是平行四邊形)。
第二章資料的離散程度
2.1 極差
◇。定義:一組資料中的最大值與最小值的差叫做極差。計算公式:極差=最大值-最小值。
極差是刻畫資料離散程度的乙個統計量,可以反映一組資料的變化範圍。一般說,極差越小,則說明資料的波動幅度越小。
2.2 方差與標準差
◇。方差:各個資料與平均數的差的平均數叫做這組資料的方差,記作s2。
巧用方差公式:
1、基本公式:s2= [(x1-)2+(x2-)2+……+(xn-)2]
2、簡化公式:s2= [(x12+x22+……+xn2)-n2]
也可寫成:s2= (x12+x22+……+xn2)- 2
3、簡化②:s2= [(x』12+x』22+……+x』n2)-n2]
也可寫成: s2= (x』12+x』22+……+x』n2)- 2
◇。標準差:方差的算術平方根叫做這組資料的標準差,記作s。
s= ◇。意義:
1、極差、方差和標準差都是用來描述一組資料波動情況的特徵,常用來比較兩組資料的波動大小,我們通常研究的是這組資料的個數相等、平均數相等或比較接近的情況。
2、方差較大的波動較大,方差較小的波動較小。
3、方差大,標準差就大,方差小,標準差就小。因此標準差同樣反映資料的波動大小。
注意:對兩組資料來說,極差大的那一組不一定方差大,反過來,方差大的極差也不一定大。
第三章二次根式
3.1 二次根式
◇。定義:一般地,式子(a≥0)叫做二次根式,a叫做被開方數。
有意義條件:當a≥0時,有意義;當a<0時,無意義。
◇。性質:1、≥0(a≥0)
2、()2=a(a≥0)
3、=∣a∣= a(a≥0)
a(a<0)
3.2 二次根式的乘除法
法則:·=(a≥0,b≥0)
=(a≥0,b>0)
化簡:① =·(a≥0,b≥0)
a≥0,b>0)
a≥0,b>0)
3.3 二次根式的加減
二次根式相加減,先將各個根式化簡,然後合併同類二次根式。
第四章一元二次方程
4.1 一元二次方程
◇。概念:只含有乙個未知數,且未知數的最高次數是2的整式方程叫做一元二次方程。
◇。一般形式:ax2+bx+c=0(a、b、c是常數,a≠0),其中ax2稱為二次項,a稱為二次項係數,bx稱為一次項,b稱為一次項係數,c稱為常數項。
4.2 一元二次方程的解法
◇。解法:1、直接開平方
2、配方法:先把一元二次方程變形為(x+h)2=k的形式(其中h,k都是常數),如果k≥0,再通過直接開平方法求出方程的解
3、公式法(求根公式):一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0),當b2-4ac≥0時,
它的根是x=
4、因式分解法:如果乙個一元二次方程的一邊是0,另一邊能分解為兩個一次
因式的乘積,那麼就可以用因式分解法求解
◇。根的判別式:
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的情況可由b2-4ac來判定,因此b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式。
當b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數根x=;
當b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數根x1=x2=-;
當b2-4ac<0時,方程沒有實數根。反之,也成立。
◇。一元二次方程應用題步驟:「設、找、列、解、驗、答」
第五章中心對稱圖形(二)
5.1 圓
◇。定義:圓是定點的距離等於定長的點的集合。其中,定點叫做圓心,定長叫做半徑。
◇。與圓有關的概念:
1、連線圓上任意兩點的線段叫做弦,經過圓心的弦叫做直徑。
2、圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧。弧用符號「⌒」表示。
圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每條弧都叫做半圓。
大於半圓的弧叫做優弧,小於半圓的弧叫做劣弧。
3、頂點在圓心的角叫做圓心角。
4、圓心相同,半徑不相等的兩個圓叫做同心圓。能夠互相重合的兩個圓叫做等圓。同圓或等圓的半徑相等。
在同圓或等圓中,能夠互相重合的弧叫做等弧。
◇。點與圓的位置關係:
在平面內,點與圓有3中位置關係:點在圓內,點在圓上,點在圓外。
如果設⊙o的半徑為r,點p到圓心o的距離為d,那麼
點p在圓內d<r;
點p在圓上d=r;
點p在圓外d>r。
5.2 圓的對稱性
◇。1、圓是中心對稱圖形,圓心是對稱中心。
2、圓是軸對稱圖形,過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。
◇。圓心角、弧、弦之間的關係:
1、在同圓或等圓中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那麼它們所對應的其餘各組量都分別相等。
2、圓心角的度數與它所對的弧的度數相等。
3、在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等。
◇。垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的弧。
5.3 圓周角
◇。概念:頂點在圓上,並且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
◇。定理:同弧或等弧所對的圓周角相等,都等於該弧所對的圓心角的一半。(圓心與圓周角的位置關係分為三種情況:圓心在角的一邊上;圓心在角的內部;圓心在角的外部)
◇。推論:1、直徑(或半圓)所對的圓周角是直角。
2、90°的圓周角對的弦是直徑。
5.4 確定圓的條件
◇。條件:不在同一條直線上的三個點確定乙個圓。
◇。三角形的外接圓:
1、三角形的三個頂點確定乙個圓,這個圓叫做三角形的外接圓。
2、外接圓的圓心是三角形的三邊的垂直平分線的交點,這個點叫做三角形的外心。這個三角形叫做圓的內接三角形。
5.5 直線與圓的位置關係
◇。直線與圓的位置關係:
1、直線與圓有兩個公共點時,叫做直線與圓相交。(d<r)
2、直線與圓有唯一的公共點,叫做直線與圓相切,這條直線叫做圓的切線,這個公共點叫做切點。(d=r)
3、直線與圓沒有公共點時,叫做直線與圓相離。(d>r)
直線與圓的位置關係可以用它們的交點的個數來區分,也可以用圓心到直線的距離與半徑的大小關係來區分,它們的結果是一致的。
◇。切線的性質與判定:
判定:經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線式圓的切線。
性質:(圓的切線垂直於過切點的半徑)
1、 經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點。
2、 經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心。
3、 切線與圓只有乙個公共點;切線與圓心的距離等於半徑;切線垂直於過切點的半徑。
◇。與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。
內切圓的圓心叫做三角形的內心,它是三角形的三條角平分線的交點,這個三角形叫做圓的外切三角形。
5.6 圓與圓的位置關係
◇。性質與判定:
如果兩圓的半徑分別為r和r,圓心距為d,那麼
兩圓外離d>r+r
兩圓外切d=r+r
兩圓相交r-r<d<r+r(r>r)
兩圓內切d=r-r(r>r)
兩圓內含0≤d<r-r(r>r)
◇。連心線的性質:
圓是軸對稱圖形,從上表中可以看出它們都是軸對稱圖形。沿o1、o2所在直線(連心線)對折,發現:兩圓相切,直線o1o2必過切點;兩圓相交,連心線垂直平分它們的公共弦。
5.7 正多邊形與圓
◇。概念:各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形。
◇。性質:正多邊形都是對稱圖形,乙個正n邊形共有n條對稱軸,沒條對稱軸都通過正n邊形的中心。
乙個正多邊形如果有偶數條邊,那麼它既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形。如果乙個正多邊形是中心對稱圖形,那麼它的中心就是對稱中心。
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