一、同角三角函式的基本關係式
(1)平方關係
(2)商數關係
(3)倒數關係
二、三角函式在各象限的符號
三、正弦函式的圖象與性質
1、畫出正弦函式的圖象
2、根據圖象填空
1．定義域：正弦函式y＝sinx的定義域是________．
2．值域：正弦函式y＝sinx，x∈r的值域是________，
當x＝2kπ＋(k∈z)時，y取最大值________，
當x＝2kπ－(k∈z)時，y取最小值________．
3．週期性：y＝sinx，x∈r是週期函式，
週期是________(k∈z，k≠0)，最小正週期為________．
4．奇偶性：y＝sinx，x∈r是____函式，
因為其圖象是關於對稱的，
因誘導公式sin(－x)＝______也可得到.
正弦曲線是中心對稱圖形，其對稱中心座標為
也是軸對稱圖形，對稱軸方程是
5．單調性：函式y＝sinx，x∈r
在每乙個閉區間上都是增函式，在每乙個閉區間上都是減函式．
在單調增區間上y從－1增大到1，在單調減區間上y從1減小到－1.
四、正弦型函式y＝asin(ωx＋φ)
例1、求下列函式的值域：
(1)y＝sin(x＋)，x∈[0，]；
(2)y＝－2cos2x＋2sinx＋3，x∈[，]．
[分析] (1)先求x＋的範圍，再求其值域；
(2)化余弦為正弦，令sinx＝t，t∈[，1]，從而轉化為關於t的二次函式．
[解析] (1)由y＝sin(x＋)，x∈[0，]可得(x＋)∈[，]，函式y＝sinx在區間[，]上單調遞增；在[，]上單調遞減，所以ymin＝，ymax＝1.
故所求值域為[，1]．
(2)y＝－2(1－sin2x)＋2sinx＋3
＝2sin2x＋2sinx＋1
＝2(sinx＋)2＋. 令sinx＝t，
∵x∈[，]，∴≤t≤1.
∴ymax＝2(1＋)2＋＝5；
ymin＝2(＋)2＋＝.
故所求函式的值域為[，5]．
[點評] 求含有正弦函式的式子的最值，常見的方法有
(1)可化為y＝asin(ωx＋φ)＋b(a≠0)的形式，利用正弦函式的性質求最值；
(2)轉化成關於正弦函式的二次函式的形式，即y＝asin2x＋bsinx＋c，利用配方法求解．
五、兩角和與差的正弦
兩角和與差的正弦公式
sins(α＋β))
sins(α－β))
練習1、 (2015·新課標ⅰ理，2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10d．
[解析] 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30° ＝，故選d .
2．(2015·隨州市高一期末測試)sin45°cos15°－cos135°·sin165
[解析] sin45°cos15°－cos135°sin165°
＝sin45°cos15°－cos(90°＋45°)sin(180°－15°)
＝sin45°cos15°＋sin45°sin15°
＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝.
函式y＝sin(2x－)－sin2x的乙個單調遞增區間是( )
ab．[，]
c．[，] d．[，]
[答案] d
[解析] y＝sin(2x－)－sin2x
＝sin2xcos－cos2xsin－sin2x
＝－cos2x－sin2x
＝－sin(2x＋)
令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈z.
取k＝0，得≤x≤，故選d．
6．當函式y＝sinx－cosx(0≤x≤2π)取得最大值時，x答案]
[解析] y＝sinx－cosx＝2sin(x－)，∵x∈[0,2π]，∴x－∈[－，]，∴當x－＝，即x＝時，函式取最大值2.
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