2023年高考數學模擬題參考解答（理科）
慧力說明：
一、 本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，並給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．
二、 對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果後繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定後繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果後繼部分的解答有嚴重的錯誤，就不再給分．
三、 解答右端所註分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
四、 只給整數分數．選擇題和填空題不給中間分．
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算．每小題5分，滿分60分．
1. 選a．：，：．
2. 選c． ．
3. 選b． 的影象關於點對稱，所以的影象關於點對稱．
4. 選a．，．顯然，⊥，，令，，，，，所以， ，．
5. 選d．所求雙曲線方程可設為（＞），則，．
6. 選a．， ．
另用特殊值法極易獲解．
7. 選b．設、、分別是正方形的邊、、的中點，則異面直線和所成角為∠或∠的鄰補角．設，則，，∠．
8. 選b．函式的影象，關於軸對稱的曲線是
，將所得影象向左平移個單位，得，故選b．
9. 選c．易見，①②③，①③②．
10. 選d．由
，得．11. 選d．．
12. 選c．令，則為奇函式，， ．當時，＜，所以在上單調遞減，又＜，所以＜＜．當＞時，因為在上單調遞減，又＜，所以＞．
第ⅱ卷（非選擇題共90分）
二、填空題：本大題共、4個小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上．
13.．
此四面體可看作球的內接長方體從同乙個頂點引出的三條稜構成的，易知此長方體的體對角線為球的直徑，根據長方體的體對角線的性質知，即球的半徑為，從而表面積為．
14.或．
是圓與橢圓在第一象限的交點，即．到直線的距離為，解得或．
15. 65．
由題意知的值需要次運算，即進行次的乘法運算可得到的結果．對於，這裡進行了次運算，進行了2次運算，進行1次運算，最後，，，之間的加法運算進行了3次，這樣總共進行了次運算；對於總共進行了次乘法運算及次加法運算，所以總共進行了次．當時，需進行次運算．
16.．
設矩形溫室的左側邊長為，後側邊長為，則．蔬菜的種植面積≤．
當，即，時，．
三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 本小題主要考查概率的基本知識，考查邏輯思維能力．滿分12分．
解 （ⅰ）可能取的值為，，，，．所以的分布列為
的數學期望8分
（ⅱ）由（ⅰ），得≤．………………12分
18. 本小題主要考查平面向量的基本知識，考查三角恒等變換，考查運算能力和邏輯思維能力．滿分12分．
解 （ⅰ）∵，
4分（ⅱ）設．由， ，
兩式相加得，．所得兩式相除得，故．又∵，而
，即．又，解得．故．……………………12分
19. 本小題主要考查直線、平面的位置關係，考查空間想象能力和邏輯推理能力．滿分12分．
解法1：（ⅰ）設為的中點，是正三角形，所以，所以，又，為中點，所以，所以平面6分
（ⅱ）鏈結，因為平面，所以為在平面上的射影，因為，所以，故為所求二面角的平面角．因為為等腰直角三角形，為斜邊中點，所以，即所求二面角的大小為．…12分
解法2：（ⅰ）設為的中點，則平面，所以，是正三角形，所以，以為原點建立如圖7所示的空間直角座標系，由已知，，，，，，所以，，，，所以，，，所以，，，所以平面．
6分（ⅱ）因為，，所以平面，所以，又，所以故為所求二面角的平面角．因為，．設所求二面角為，則，所以，即所求二面角的大小為12分
20. 本小題主要考查向量、直線、拋物線和橢圓等基本知識，考查運算能力和邏輯思維能力．滿分12分．
解：（ⅰ）到點與到直線的距離相等的點的軌跡是拋物線，方程為．
由方程組，即，因為，且，故方程組有兩組不同的解，即直線上一定存在相異兩點，，它們到點與到直線的距離相等．………………6分
（ⅱ）設、，顯然，都是非零向量，要證，只要證，即，而、，即證
，即，由（1），是方程的兩根，即，，此時
，故，即12分
21. 本小題主要考查數列、極限等基本知識，考查邏輯思維能力，考查分析問題和解決問題的能力．滿分12分．
解：（ⅰ）設，因為是等差數列，，
，於是．所以3分
設，是等比數列，公比為，＜，由．
由，解得．於是，即 ②．由①、②解得8分
（ⅱ）．…………12分
22. 本小題主要考查函式、導數和不等式等基本知識，考查邏輯推理能力，考查分析問題和解決問題的能力．滿分14分．
解：(ⅰ)由，對求導數知．由可知，在時恆成立．從而在上單調遞增4分
（ⅱ）由(ⅰ)知，在上單調遞增，在，時，
，，於是，
，兩式相加得到：．……8分
（ⅲ）由（ⅱ）知，當在上單調遞增時，有＜，（，）恆成立．由數學歸納法可知：時，有
恆成立10分
設，則在時，有
≥（*）
恆成立．
令，記，
則 ，
．． （**）
（**）代入（*）中，可知：
．於是， ．……………14分
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