chapter 3 電阻電路的一般分析
主要內容
1.圖論的初步概念；
2.支路電流法；
3.網孔電流法和迴路電流法；
4.結點電壓法。
§3-1 電路的圖
1.求解電路的一般方法
1) 選取合適的電路變數（電流和/或電壓）；
2) 根據kcl, kvl以及元件的電壓、電流關係（vcr），建立獨立方程組；
3) 解出電路變數。
學習圖論的初步知識，目的是研究電路的連線性質並討論應用圖的方法選擇電路方程的獨立變數。
2.圖1 g = (v, e )：表示g是結點和支路的乙個集合。
結點（頂點，點）：支路的匯合處；
支路（線段，邊）：是乙個抽象的線段（代表乙個電路元件）；
2 孤立結點：不關聯任何邊的點；
3 移去支路：移去該支路，但其所關聯的兩個結點保持不變；
4 移去結點：把它所關聯的全部支路同時移去。
3.電路的「圖」
① 電路的「圖」：把電路中每一條支路畫成抽象的線段, 形成的乙個結點和支路的集合；
② 用不同的元件結構定義電路的一條支路時，該電路以及它的圖的結點數和支路數將隨之而不同；
③ 有向圖：賦予支路方向的圖；
指定電路中每條支路電流的參考方向，電壓取關聯參考方向；
指定電路的圖中每一條支路的方向；
§3-2 kcl和kvl的獨立方程數
一、kcl的獨立方程數（）
可以證明，對於具有n個結點的電路，在任意（）個結點上可以得出（）個獨立的kcl 方程，相應的（）個結點稱為獨立結點。
① ∵
因為每一支路電流必然流出乙個結點，並流入另一結點，故獨立方程數。
2 從這個方程中，去掉任意乙個，餘下的個方程一定互相獨立，因去掉乙個方程後，必有某些支路電流不可能與其他支路電流相消。
二、kvl 的獨立方程數（）
1.獨立迴路
1 連通圖：圖g的任意兩個結點之間至少存在一條路徑。
2 子圖：如果 g1 的每個結點都是圖g 中的結點，g1 的每條支路都是g中的支路，則g1 是g 的子圖。
3 迴路：如果一條路徑的起點和終點重合，且經過的其他結點都相異，這條閉合路徑就構成g的乙個迴路。
4 樹：連通圖g的乙個樹，是指g的乙個子圖，它必須是：，連通的；,包含的全部結點；，不包含迴路。
可以證明，任乙個具有個結點的連通圖，它的任何乙個樹的樹支數為（）。
迴路： 樹支: 樹支:
連支: 連支:
⑤單連支迴路：g的任意乙個樹，加入乙個連支後形成的乙個迴路.
, 除所加連支外均由樹支組成；
, 由全部連支形成的單連支迴路（基本迴路）構成基本迴路組。基本迴路組是獨立迴路組；
, 根據基本迴路列出的kvl方程組是獨立方程組；
, 選擇不同的樹，可以得到不同的基本迴路組。
：樹支：（1，3，5）； 迴路：（2，3，5）；（1，3，4），（1，3，5，6）
：樹支：（3，4，5）； 迴路：（1，3，4）；（2，3，5）；（4，5，6）
：樹支：（1，2，4）； 迴路：（1，3，4）；（1，2，4，5）；（1，2，6）
2.網孔
1 平面圖：把乙個圖畫在平面上，能使它的各條支路除連線的結點外不再交叉，否則，稱為非平面圖。
2 網孔：平面圖的乙個「網孔」是指它的乙個自然「孔」，它限定的區域內不再含有支路；
3 平面圖的全部網孔是一組獨立迴路；
4 平面圖網孔數 = 獨立回路數。
的獨立方程數 = 獨立回路數
1 平面電路： 找網孔，對網孔列方程；
2 非平面電路：先找樹，再找單連支迴路，對單連支迴路列方程；
§3-3 支路電流法
1.法以支路電壓和電流為電路變數，共有個未知量。
1 按kcl列出（）個獨立電流方程；
2 按kvl列出（）個獨立電壓方程；
3 按支路的電壓、電流關係（vcr）列出個vcr方程；
4 由個方程求解個未知量。
2.支路電流法
1 將個支路電壓、電流關係（vcr ）方程代入（）個kvl方程；消去支路電壓變數，得到()個以支路電流表示的kvl方程，加上原有的（）個獨立的結點電流方程；
2 個方程求解個支路電流 。
將式（3）代入式（2）得
式（1）和式（4）聯立求解可得支路電流。
方程的一般形式
1）為迴路中第個支路電阻上的電壓，參考方向與迴路方向一致時，取「+」，否則，取「-」；
2）為迴路中第支路的電源電壓（既包括電壓源電壓，也包括電流源引起的電壓），當與迴路方向一致時取「-」（因移到等號另一側），否則取「+」。
4.列寫支路電流法電路方程的步驟
1） 選定各支路電流的參考方向；
2） 根據kcl對個獨立結點列寫電流方程；
3） 選取個獨立迴路（平面電路取網孔），指定迴路的繞行方向，列出方程。
§3-4 網孔電流法
1.網孔電流是一組完備的獨立電流變數。
①網孔電流是一種沿著網孔邊界流動的假想電流，共個。
a.為分析簡便而設的假想電流
b.可用線性表示。
② 完備性：一旦求出了網孔電流，所有支路電流可根據kcl隨之確定。
③獨立性：因每個網孔電流沿著網孔流動，當它流到某個結點時，從該結點流入，又從該結點流出，在該結點所列的kcl方程中相互抵消，因此，就kcl來說，各網孔電流彼此獨立無關。
④ 求網孔電流需要根據kvl及vcr來列方程。
2.求解過程及網孔電流方程的普遍形式
以網孔電流方向為列kvl方程時的繞行方向（順時針）。
整理後可得
概括為一般形式
或推廣到個網孔的電路，其網孔電流方程普遍形式為
這裡：① 自電阻第個網孔的全部電阻之和；
② 互電阻第個網孔與第個網孔之間的公共電阻，如果與通過公共電阻時方向一致，取「+」，相反，取「-」；
③ 總電壓源電壓：第個網孔電壓源電壓公升的代數和，。
例3-1：用網孔分析法求解下圖電路的各支路電流。
解：網孔電流方程為
利用行列式法可求出
例3-2：試求下圖中電流。
解：網孔電流方程為
例3-3：試用網孔法求下圖所示電路中受控源電流。
解：列網孔電流方程時先將受控電源等同於獨立電源，寫出網孔電流方程後，再將受控源控制量用網孔電流表示。
又例3-4：試列寫下圖中所示電路的網孔電流方程。
解：因電流源兩端有電壓，假設為，則
補充：將電壓源移至圖右側，可不設電流源電壓，迅速求出各支路電流！
§3-5 迴路電流法
1.迴路電流法是以一組獨立迴路電流為電路變數的求解方法
1 迴路電流是在乙個迴路中連續流動的假想電流；
2 選基本迴路作為獨立迴路，迴路電流就是連支電流；
，樹支：支路（4，5，6） 連支：支路（1，2，3）
，迴路電流（連支電流）為分別在3個基本迴路中流動；
3 迴路電流（連支電流）是完備的獨立電流變數。
a,完備性: 支路電流是流過的迴路電流(連支電流)的代數和；樹支電流可以通過連支電流來表達。全部支路電流可用連支電流(迴路電流)來表達；
b, 獨立性: 因每個迴路電流沿著迴路流動, 當它流到某個結點時，從該結點流入，又從該結點流出，在該結點所列的 kcl 方程中相互抵消，因此，就 kcl 來說，各迴路電流彼此獨立無關.
4 個支路，個結點的電路，個支路電流受個方程的約束，僅有個支路電流是獨立的；
5 連支數恰好是個，連支電流可以作為獨立電流變數，由提供求解連支電流所需的個獨立方程。
2.求解過程及迴路電流方程的一般形式
① 列出圖示3個迴路的迴路電壓方程，將所有電流均用迴路電流表示；
② 整理後可得
③ 一般形式（設）
這裡：自電阻第個迴路的全部電阻之和，
互電阻第個迴路與第個迴路的公共電阻之和，若兩個迴路電流通過公共電阻時方向一致取「+」，否則取「-」；
電壓源電壓第個迴路電壓源電壓公升的代數和（即電壓源電壓的方向與迴路電流方向一致時取「-」，否則取「+」。
3.電路中含有電流源的情況
1 含有電流源和電阻的併聯組合，可經等效變換成為電壓源和電阻的串聯組合再列迴路方程；
2 存在無伴電流源時：
選取電流源支路作連支，則該迴路的電流（連支電流）就是電流源電流（見）；
b，把電流源的電壓作為變數，增加乙個獨立的迴路電流與電流源之間的約束關係（見）
4.電路中含有受控電壓源的情況：
1 將受控電壓源作為獨立電壓源列出迴路電流方程；
2 再把受控電壓源的控制量用迴路電流表示；
3 將用迴路電流表示的受控源電壓移至方程的左邊。
例3-5：試求下圖中電流。
解：選樹時，使電壓源支路作為樹支，並使電流源、受控電流源及受控源的控制支路位於連支中，由於只有乙個未知數，故只需對所流經的迴路列寫方程
例3-6：下圖所示電路中有無伴電流源，無伴電流控制電流源電壓控制電壓源電壓源，列出迴路電流方程。
解：選樹支如粗實線所示，將連支電流作為迴路電流，則
整理可得
r1 對迴路電流無影響!
5.迴路電流法的步驟
1 根據給定的電路，通過選擇乙個樹確定一組基本迴路（使電流源、受控電流源出現在連支中），指定各迴路電流（即連支電流）的參考方向；
電路一般分析方法步驟彙總
線性電路主要分析方法步驟彙總 網孔電流法的一般步驟 步驟 1 確定網孔，假定網孔電流的繞行方向 2 列寫kvl方程 3 聯立求解。說明 1 對於含有電流源的支路 a 若在單一網孔支路上，少列乙個方程 b 若在兩網孔公共支路上，要假定電壓變數，多列乙個方程，即 網孔電流與電流源電流關係的方程 2 對於...
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