一、四心的概念介紹
（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；
（2）垂心——高線的交點：高線與對應邊垂直；
（3）內心——角平分線的交點（內切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；
（4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。
二、四心與向量的結合
（1）是的重心.
證法1：設
是的重心.
證法2：如圖
三點共線，且分為2：1
是的重心
（2）為的垂心.
證明：如圖所示o是三角形abc的垂心，be垂直ac，ad垂直bc， d、e是垂足.
同理，為的垂心
（3）設, ,是三角形的三條邊長，o是abc的內心
為的內心.
證明：分別為方向上的單位向量，
平分,)，令
（)化簡得
（4）為的外心。
典型例題：
例1：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ ）
a．外心 b．內心 c．重心 d．垂心
分析：如圖所示，分別為邊的中點.
//點的軌跡一定通過的重心，即選.
例2：（03全國理4）是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ b ）
a．外心 b．內心 c．重心 d．垂心
分析：分別為方向上的單位向量， 平分,
點的軌跡一定通過的內心，即選.
例3：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足， ，則點的軌跡一定通過的（ ）
a．外心 b．內心 c．重心 d．垂心
分析：如圖所示ad垂直bc，be垂直ac， d、e是垂足.==
=+=0
點的軌跡一定通過的垂心，即選.
練習：1．已知三個頂點及平面內一點，滿足，若實數滿足：，則的值為（ ）
a．2 b． c．3 d．6
2．若的外接圓的圓心為o，半徑為1，，則( )
a． b．0 c．1 d．
3．點在內部且滿足，則面積與凹四邊形面積之比是（ ）
a．0 b． c． d．
4．的外接圓的圓心為o，若，則是的（ ）
a．外心 b．內心 c．重心 d．垂心
5．是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，若
，則是的（ ）
a．外心 b．內心 c．重心 d．垂心
6．的外接圓的圓心為o，兩條邊上的高的交點為h，，
則實數m
7．（06陝西）已知非零向量與滿足(+)·=0且·= , 則△abc為( )
a．三邊均不相等的三角形 b．直角三角形
c．等腰非等邊三角形 d．等邊三角形
8．已知三個頂點，若，則為（ ）
a．等腰三角形 b．等腰直角三角形
c．直角三角形 d．既非等腰又非直角三角形
練習答案：c、d、c、d、d、1、d、c
向量與三角形內心 外心 重心 垂心
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