三角形的三條高（所在直線）交於一點，該點叫做三角形的垂心。
垂心的性質：
1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。
2、三角形外心o、重心g和垂心h三點共線，且og︰gh=1︰2。（此直線稱為三角形的尤拉線（euler line））
3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。
4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。
定理證明
已知：δabc中，ad、be是兩條高，ad、be交於點o，連線co並延長交ab於點f ，求證：cf⊥ab
證明：連線de ∵∠adb=∠aeb=90度 ∴a、b、d、e四點共圓 ∴∠ade=∠abe
∵∠eao=∠dac ∠aeo=∠adc ∴δaeo∽δadc
∴ae/ao=ad/ac ∴δead∽δoac ∴∠acf=∠ade=∠abe
又∵∠abe+∠bac=90度 ∴∠acf+∠bac=90度 ∴cf⊥ab
因此，垂心定理成立！
四、三角形內心定理
三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。
內心的性質：
1、三角形的三條內角平分線交於一點。該點即為三角形的內心。
2、直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。
3、p為δabc所在平面上任意一點，點i是δabc內心的充要條件是：向量pi=(a×向量pa+b×向量pb+c×向量pc)/(a+b+c).
4、o為三角形的內心，a、b、c分別為三角形的三個頂點，延長ao交bc邊於n，則有ao:on=ab:bn=ac:cn=(ab+ac):bc
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。
旁心的性質：
1、三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。
2、每個三角形都有三個旁心。
3、旁心到三邊的距離相等。
如圖，點m就是△abc的乙個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。乙個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合一。
向量與三角形內心 外心 重心 垂心
向量與三角形內心 外心 重心 垂心知識的交匯 一 四心的概念介紹 1 重心 中線的交點 重心將中線長度分成2 1 2 垂心 高線的交點 高線與對應邊垂直 3 內心 角平分線的交點 內切圓的圓心 角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等 4 外心 中垂線的交點 外接圓的圓心 外心到三角形各頂點的距離相等。...
向量與三角形內心 外心 重心 垂心知識
一 四心的概念介紹 1 重心 中線的交點 重心將中線長度分成2 1 2 垂心 高線的交點 高線與對應邊垂直 3 內心 角平分線的交點 內切圓的圓心 角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等 4 外心 中垂線的交點 外接圓的圓心 外心到三角形各頂點的距離相等。二 四心與向量的結合 1 是的重心.證法1 設...
三角形重心垂心外心內心相關性質介紹
三角形的 四心 所謂三角形的 四心 是指三角形的重心 垂心 外心及內心。當三角形是正三角形時，四心重合為一點，統稱為三角形的中心。一 三角形的外心 定義 三角形三條中垂線的交點叫外心，即外接圓圓心。的重心一般用字母表示。性質 1.外心到三頂點等距，即。2.外心與三角形邊的中點的連線垂直於三角形的這一...