—本文發表在《小學數學教育》2023年第3期
教會學生用聯絡的觀點看問題
——著名特級教師朱國榮《三角形的認識》教學片段賞析
以往，很多老師都是把三角形作為乙個獨立圖形來教學，讓學生認識三角形後再來架構三角形和四邊形的關係，因此很多學生對「兩個完全一樣的三角形可以拼成乙個平行四邊形」、「兩個等底等高的三角形面積相等但形狀不完全相同」不甚理解。究其原因，是教師割裂了三角形和其他圖形的內在聯絡。前不久，筆者參加一次全國教學研討會，有幸聆聽了浙江著名特級教師朱國榮老師執教的《三角形的認識》一課，朱老師基於學生元認知和數學知識之間的內在聯絡，在圖形的大背景下引領學生認識三角形，自主建構圖形體系，為我們奉獻了一節精彩的數學課。
現擷取精彩教學片斷簡介如下：
片斷一、在聯絡中引入
師：（課件出示）你能說出這些平面圖形的名稱嗎？(圖略）
生1：第乙個是四邊形，第二個是梯形，第三個是平行四邊形。
師：梯形和平行四邊形，它們都是特殊的四邊形。
生2：第四個是三角形，第五個是五邊形。
師：請仔細看螢幕。如果我連線每乙個四邊形的一條對角線，你發現了什麼？
生：它們都是由兩個三角形組成的。
師：也可以說每乙個四邊形都分成了兩個三角形。
師：那個五邊形如果我也這樣分一分，能分成幾個三角形？
生：可以分成3個三角形。
師：是不是這樣？（電腦演示分的過程）
師：三角形是多邊形當中最基本的一種，今天朱老師就和大家來研究「三角形」。（板書：三角形）
【賞析】：很多老師教《三角形的認識》都是從物體上抽象出三角形，讓學生感知三角形**於生活，培養學生數學抽象和數學眼光。朱老師一反常態，開門見山，從幾何圖形的辨認入手，筆者認為不無道理，因為學生對簡單幾何圖形有了大量的生活積累，而且學生在低年級已經初步認識了簡單的幾何圖形，並較為系統地學習了長方形、正方形和平行四邊形這三種幾何圖形，讓學生直接辨認符合學生認知基礎。
用連線對角線的方法將多邊形分割成若干個三角形，來揭示三角形是多邊形中最基本的一種。這樣在學生的元認知和圖形體系的大背景下學習，達到新知不新，溫故知新的教學效果。
片斷二、在聯絡中發現
師：看看黑板上這個三角形，你知道三角形有什麼特點嗎？（圖略)
生1：它有3個角，還有3條邊。（板書：3個角，3條邊。）
師：你能上來給大家指一指嗎？（生上台指）
師：非常棒。圍成三角形的三條線段就是三角形的三條邊，其他同學還知道什麼？
生2：三角形還有三個頂點。（板書：3個頂點）
師：**是三角形的頂點，請你也來指一指。(生指)
生3：三角形具有穩定性。
師：你還知道三角形具有穩定性，真厲害！稍後我們研究這個穩定性。
師：三個四邊形都分成了兩個三角形，你認為哪乙個分得最特別。說說你的理由。
生：平行四邊形分得最特別，因為它分成了兩個同樣的三角形。
電腦演示分割過程：（圖略）
師：乙個平行四邊形分成了兩個一模一樣的三角形。如果有一把大剪刀把這個平行四邊形從中間剪開，然後把其中乙個三角形旋轉和另乙個三角形疊起來，想一想，將會怎樣？
生齊說：重疊。
師：如何重疊的？
生：每條邊都重疊在一塊。
師：像這樣不多不少的重疊在數學上我們就說它們是完全重合。請大家思考一下旋轉後d點將和哪乙個頂點重合起來？
生：和b點重合。
師：是不是這樣子呢，我們請電腦來驗證。（圖略）
師：通過剛才的研究，我們發現乙個平行四邊形連線一條對角線的話可以把乙個平行四邊形分成兩個一模一樣的三角形。
師：那麼這句話反過來說就是，兩個一模一樣的三角形那就會怎麼樣？
生：如果有兩個同樣的三角形合起來就變成了乙個平行四邊形。
師：這個同學講得真好，兩個一模一樣的三角形就可以拼成乙個平行四邊形。究竟能不能拼成呢？
我們通過操作來驗證一下。同桌合作，從7根小棒中選6根，搭成兩個完全相同的三角形。你們能把這兩個三角形拼成乙個平行四邊形嗎？
學生操作，教師巡視。交流匯報。
師：他是這樣拼的，把兩根最短的合在一起了，拼成平行四邊形。（圖略）
師：還有沒有不同拼法的？
學生2拼。（圖略）
師：可以嗎？（齊：可以）朱老師也想來拼一下，看看我能不能得到點掌聲。
（學生鼓掌）
【賞析】：著名認知心理學家皮亞傑在「知識建構論」中指出：主體認識的實質是主體利用其原有的知識結構對外界客體進行加工、改造、整合的過程，在整個過程中，主體的認知結構也得到不斷建構和發展。
朱老師充分利用新舊知識之間的內在聯絡，從知識的邏輯順序和大數學觀的背景中引導學生發現三角形和學生已學的平行四邊形之間的聯絡，使每乙個學生發現所學新知是舊知的擴充與發展。朱老師引導學生由「乙個平行四邊形分成了兩個一模一樣的三角形」，逆向思考，學生做出合情推理，得出「兩個一模一樣的三角形就可以拼成乙個平行四邊形」，培養了學生合情推理能力和思維能力，為後續學習三角形的面積奠定了堅實的基礎。
片斷三、在聯絡中對比
師：老師搭了乙個大的三角形，我想請我們班的大力士幫我拉拉看，檢驗一下老師做的三角形結實不結實？
（一生上台拉）。
師：拉得動嗎？
生：拉不動。
師：我們做了這個實驗，你們知道三角形有什麼特性？
生：穩定性。
師：對呀，剛才就有同學知道的，現在又進一步驗證了。
師：（出示乙個平行四邊形木框）平行四邊形有什麼特點？現在我們找全班力氣最小的同學來拉一拉。
（全班推薦一名女生拉，一拉就變形了）
師：她的力氣全班最小。那為什麼她一拉就動了呢？
生：因為平行四邊形易變形。
師：對！三角形具有穩定性，平行四邊形容易變形。
（板書：穩定性、容易變形）同學們，圖形各有各的特點，在生活當中也各有各的作用。在你的腦子裡趕緊搜尋一下，在生活中三角形穩定性有什麼用？
平行四邊形的易變形性有什麼應用？
生1：自行車中間就是三角形的。
師：這樣的自行車就比較穩定，比較牢固，還有嗎？
生2：移拉門應用了平行四邊形易變形的特點。
生3：在籃球架上也會看到乙個三角形。
師：那麼這個籃球架就比較牢固，比較穩定。老師也蒐集了一些**，請大家看。（電腦演示略）
【賞析】：波利亞說：學習任何知識的最佳途徑都是由自己發現，因為這種發現理解最深刻，也最容易掌握其中內在的規律、性質和聯絡。
三角形的特點有的是直觀的，如三角形有3個角，3條邊，3個頂點，這些特點學生可以通過觀察法習得。有的特點是內隱的，如穩定性，通過觀察不能習得，需要動手操作來發現。朱老師尊重學生學習基礎，放手讓學生自主發現，去數一數，指一指，自主發現三角形有3個角，3條邊，3個頂點。
對認識難點「三角形的穩定性」做了分段重點處理，讓學生動手操作來體驗。這樣環節處理詳略得當，教學節奏舒緩有度。
【全課賞析】：
世界是乙個普遍聯絡著的有機整體，任何事物都不能孤立存在。因此我們在認識和分析事物時，要求用普遍聯絡的觀點看問題，這也是普遍存在的辯證唯物主義的觀點。在我們的數學課堂中更應該用聯絡的觀點來統領教學，因為數學的本質特點是知識之間存在著密切的內在聯絡，所以也常常說建構數學知識體系。
數學中最常說的特徵、相同點、不同點等等，都是用聯絡的觀點看問題。值得我們關注的是當研究單個圖形時，要用聯絡的觀點，把單個圖形放在大知識背景下，放在整個數學知識體系中去整體把握，教給學生學會把新知識和已經學習的舊知識主動聯絡起來。在聯絡觀的視野下，本節課主要體現了以下特點：
1、關注學生數學現實，溝通知識內在聯絡
弗賴登塔爾認為，教乙個內容的最佳途徑是聯絡學生的數學現實和生活現實，在將要傳授的知識和學生已經在現實世界中積累的或是已經學過的知識之間建立起緊密的聯絡。因為學生不是一張白紙，他們在學習每乙個新知識前都積累了一定的學習經驗和生活經驗。如何充分發揮已有知識經驗在學習中的積極作用是每乙個老師著力思考的現實問題。
本課始終貫穿圖形間的聯絡與區別。學生在學習三角形之前，已經初步認識各種平面圖形，並積累大量的生活中三角形的原型。朱老師關注學生的數學現實，把三角形放在圖形的大背景下來學習，不是就三角形講三角形。
這樣在乙個大背景下提出和研究三角形，使學生感悟到三角形不是孤立存在的。所以朱老師的課堂上三角形和平行四邊形處處在對比，整堂課重點處理的不是「三角形的概念」，而是三角形的穩定性和高。朱老師通過兩個三角形為什麼完全相同來引出三角形的穩定性，三角形的穩定性區別於四邊形的易變形，讓學生初步感知穩定性即唯一性，三角形的高建立於四邊形的高基礎之上，這些完美詮釋，讓人眼前一亮。
這樣基於學生舊知來學習新知，凸顯數學知識的本質特點就是舊知的不斷擴充和延伸。在大背景，大框架，大體系中，學生的視野和數學眼界也開闊了。
2、引導學生自主建構，促進學生持續發展
三角形是「空間與圖形」學習領域中乙個重要的數學概念，學生對這一概念的理解是否清晰全面透徹，直接影響到後續相關知識的學習。在傳統教學中教師往往關注三角形的各部分的名稱和特性，忽視通過學生自主發現經歷概念的形成過程，忽視三角形和其他圖形之間的內在聯絡。以至於在後續學習中不能很好理解「兩個完全一樣的三角形可以拼成乙個平行四邊形」，所以三角形的面積公式裡要有「÷2」。
本課朱老師從大處著眼，小處著手，引導學生站得高，學生方能看得遠，從數學的邏輯關係中引出三角形，啟發觀察「哪乙個四邊形分得的三角形最特殊？」，引導學生發現三角形和平行四邊形的內在聯絡。通過動手操作，在對比中發現三角形的穩定性，平行四邊形的不穩定性（易變形），並及時啟發學生聯絡生活，溝通數學與生活的聯絡。
學生在自主**中發現，在自主建構中完善自己的認知體系，為後續學習打下了堅實的基礎。更重要的是學生習得了運用「轉化」、「聯絡」等重要的數學思想方法，生動地詮釋了上位的數學觀的具體指導價值，促進學生可持續發展。
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