北京師範大學附屬實驗中學2011－2012學年度第一學期期中試卷
北京師範大學附屬實驗中學
2011—2012學年度第一學期高三年級(數學(理))期中試卷
班級______ 姓名學號成績_______
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
第ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9．已知命題p：「」，則命題p的否定是
10．在數列中，，設為數列的前項和，且，則______；
11．定義集合運算：. 設集合a=，b=則集合的所有元素之和為
12．在中，已知， ______；
13．函式的最大值與最小值的積為
14．給出下列命題：
① 若「」則「是第二或第四象限角」；
②平面直角座標系中有三個點a（4，5），b（-2，2），c（2，0），則=；
③若，且，則的值為1；
④設表示不大於的最大整數，若，那麼；
其中所有正確命題的序號是
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15．（本題13分）
已知：向量，函式
（1）求函式的最小正週期及最值；
（2）將函式的圖象縱座標不變，橫座標伸長為原來的倍後，再向左平移得到函式，判斷函式的奇偶性，並說明理由.
16．（本題13分）
已知：等差數列的公差和等比數列的公比都是，且，
（1） 求數列，的通項公式；
（2） 設數列的前和為，求；
（3） 是否為數列中的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由.
17．（本題13分）
如圖，港口在港口正東方海浬處，小島在港口北偏東方向和港口北偏西方向上，一艘科學考察船從港口o出發，沿北偏東的方向以每小時海浬的速度駛離港口，一艘快艇從港口b出發，以每小時海浬的速度駛向小島，在島裝運補給物資後給考察船送去，現兩船同時出發，補給物資的裝船時間需要小時，問快艇駛離港口後最少要經過多少時間才能和考察船相遇？
18．（本題14分）
已知函式： .
（1）當時，求過點曲線的切線方程；
（2）求函式的單調區間；
（3）函式是否存在極值？若有，則求出極值點；若沒有，則說明理由.
19．（本題14分）
設奇函式的定義域為，且在上為增函式
（1）若解關於的不等式：
（2）若當時，恒有
求時，的取值範圍.
20．（本題13分）
已知數列滿足： 且
其中是乙個給定的正整數
（1）證明：數列是乙個單調數列；
（2）證明：對一切，有：.
壓題南京師範大學附屬實驗學校
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