備課資料
1.半形定理
在△abc中,三個角的半形的正切和三邊之間有如下的關係:
, ,, 其中p=（a+b+c).
證明:,
因為sin＞0,cos＞0,
所以.因為p = (a+b+c),
所以a -b+c =2(p-b),a+b-c=2(p -c).
所以.而 所以.
所以.同理,可得,
.從上面的證明過程中,我們可以得到用三角形的三條邊表示半形的正弦和半形的余弦的公式:
. 同理可得
2.用三角形的三邊表示它的內角平分線
設在△abc中(如右圖),已知三邊a、b、c,如果三個角a、b和c的平分線分別是ta、tb和tc，那麼，用已知邊表示三條內角平分線的公式是：
; ;. 證明：設ad是角a的平分線，並且bd=x，dc=y,那麼，在△adc中，由餘弦定理，得ta 2=b2+y2-2bycosc,①
根據三角形內角平分線的性質，得,
所以.因為x+y=a,
所以.所以.②
將②代入①,得
=. 因為,
所以 =
=所以.
同理,可得.
這就是已知三邊求三角形內角平分線的公式.
3.用三角形的三邊來表示它的外接圓的半徑
設在△abc中,已知三邊a、b、c,那麼用已知邊表示外接圓半徑r的公式是
. 證明: 因為,
所以.所以.
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