王飛教師結構力學課程第 12 講（單元）教案設計
第四章靜定結構總論
§4-1 隔離體方法及其擷取順序的優選
一. 隔離體的形式、約束力及其平衡方程
靜定結構的內力分析的關鍵是選取適當的隔離體，利用靜定平衡方程進行求解。
1. 隔離體的形式
隔離體的形式有：結點（鉸結點、剛結點、組合結點）、桿件、剛片、桿件微單元。
桁架的隔離體：乙個結點、多個結點。
剛架的隔離體：桿件、剛結點、鉸結點。
2. 約束力的型別
截斷鏈杆》 乙個軸力
截斷簡單鉸結 -----> 兩個約束反力
截斷剛結點 -----> 三個約束反力
3. 平面可解條件
(1) 獨立方程的個數等於隔離體的自由度的個數。
(2) n 個未知力，但有 n -1個未知力匯交於一點或者平行，可求出第 n 個力。
此兩條是優先選擇隔離體的關鍵，應當正確理解和掌握。
二. 計算的簡化和隔離體的擷取順序
1. 直接能夠利用方程求解。
2. 選擇合理的矩心和座標軸，避免聯合求解，矩心選在未知力的交點處，作標軸與未知力平行或垂直。
3. 簡化桿件的受力，合理的判斷出二力杆、零杆。
4. 利用對稱結構的計算。
5. 通過幾何組成分析，正確理解結構的組成規律，選擇合理的解題順序，解題順序與組成順序相反。
§4-2 剛體體系的虛功原理
一. 虛功原理
虛功原理的表達形式有多種多樣，對於理想約束的剛體體系可描述如下：
設剛體上作用任意的平衡力系，又設體系發生符合約束條件的無限小的剛體體系位移，則主動力在位移上所做的虛功總和等於零。
虛功原理的關鍵：平衡力系與位移的相互獨立性，二者都可以進行假設，根據不同的問題進行不同的假設。
本節是利用假設的位移進行求解未知力。
下面通過例項來理解剛體體系的虛功原理.
圖示4-1a是一幾何可變體系，已知力 p ，為了平衡是求力 f 的大小。
虛設一位移狀態圖4-1b，位移的假設應與荷載相一致。
根據虛功原理,可以通過以下計算求出力 f :
圖4-1a
圖4-1b
特點:1. 位移是假設的；
2. 解題的關鍵是利用幾何關係求出位移之間的幾何關係；
3. 採用幾何幾何的方法求解靜力平衡問題。
二. 應用虛功原理求靜定結構的約束力----單位支座位移法
虛功原理的關鍵是存在兩種狀態：力狀態、位移狀態。
力狀態：結構的實際受力的同時，再加上所求的約束反力。
位移狀態：在所求約束反力的方向上產生相應的位移。
由於在位移狀態時約束已經去掉，結構則變成可變體系（機構）。
剛體體系的虛功原理可用如下方法進行：
(1)解除欲求約束反力的約束，用相應的約束反力 fx 來代替,同時,結構則相應的變為機構.
(2)把結構可能發生的剛體體系位移當作虛位移，設未知力 fx 和主動荷載 fp 相應的位移分別是 δx 和 δp ，利用虛功原理可得：
(3)求出 δx 和 δp 之間的相互關係，即可求得 fx ：
(4)為了計算方便，假設 δx = 1 ，此時， δp 則用 δp 表示。
以上的關鍵是虛設位移狀態，及其各種位移的關係。由於 δx = 1，所以又稱單位支座位移法。
例項分析
求圖4-2a所示簡支梁支座 b 的支反力及截面 c 處的彎矩.
圖4-2
解:(1)求支座 b 的支反力 r 。
力狀態：將支座 b 去掉，用支反力r代替，同時也變成幾何可變體系（圖4-2-b）。
位移狀態：在支座 b 處設一豎向位移1， ab 桿成斜線（圖4-2-c）。
則：支反力的虛功為 1r ；
均布荷載的虛功為：
(2)求 r 截面處的彎矩 m
力狀態：撤除與彎矩相應的約束，將截面 c 由剛接改為鉸接，注意 c 截面的彎矩為一對大小相等，方向相反的力偶組成（圖4-2d）。
位移狀態 ：設 c 處的豎向位移為1，則 ac 、 bc 段的轉角分別為：
§4-3 靜定結構的一般性質
本節主要是簡單介紹靜定結構的一般性質,以後通過超靜定結構的學習，將進一步分析其性質。
一. 溫度的改變、支座移動和製造誤差等因素在靜定結構中不引起內力
由於靜定結構隨著溫度的改變、支座移動和製造誤差等因素的改變，只引起結構形狀的改變，因此不引起內力。
二. 靜定結構的區域性平衡特性
在荷載作用下，如果僅靠靜定結構中的某以區域性就可以與荷載維持平衡，則其餘部分的內力必為零。
事實上，多跨靜定梁的基本部分上的荷載不影響附屬部分；桁架中的零杆的判斷，都是靜定結構的區域性平衡特性的具體體現。
當然，區域性平衡可以是幾何不變體，也可以是幾何可變體。
三. 靜定結構的荷載等效性
當靜定結構的乙個內部幾何不變部分上的荷載作等效變換時，其餘部分的內力不變。
四. 靜定結構的構造變換特性
當靜定結構的乙個內部幾何不變部分作構造變換時，其餘部分的內力不變。
§4-4 各種結構形式的受力特點
考慮結構的受力特點，應主要從結構的軸力和彎矩進行分析，在無彎矩的情況下，軸力在截面上時均勻分布，能夠充分利用材料的強度；而彎矩產生的應力在截面上為三角形分布，沒有充分利用材料的強度，因此，在結構的受力特點分析中主要考慮結構中的彎矩的分布及最大值。
經過計算，在相同跨度和相同荷載下，簡支梁的彎矩最大，伸臂梁、靜定多跨樑、三鉸剛架、組合結構的彎矩次之，而桁架結構的彎矩為零，基於此在工程中簡支樑多用於小跨度結構；伸臂梁、靜定多跨樑、三鉸剛架、組合結構可用於較大跨度的結構；而大跨度結構通常採用桁架結構或者拱結構。
在實際工程中，處考慮受力特點之外，歡迎考慮結構的施工、幾何特點、構造本身，如：簡支梁結構簡單，施工方便，桁架結構便於進行安裝，但桿件較多，結點構造比較複雜。
§4-5 小結
1. 靜定結構各種受力分析方法的比較
靜定結構的受力分析方法有兩類:
(1)取隔離體，建立平衡方程的方法。
(2)虛設位移，建立虛功方程的方法。
第一，要對每一類方法深入學習，學懂學會。第二，要把兩類方法合在一起，加以研究和比較：了解兩類方法的本質區別以及各自的優缺點。
2. 幾何構造分析與受力分析之間的聯絡
學習過程經常是首先分門別類的學，然後融會貫通的想，綜合優先的用。
幾何構造分析與受力分析要將兩部分融會貫通起來，掌握兩者之間的對偶關係，並能靈活的交叉應用。
隔離體擷取順序的優選正是借鑑幾何構造分析的知識，用以指導受力分析方法的優選。
3. 與靜定結構各種特性相貫通的基本特性
靜定結構的基本特性是：在靜定結構中，滿足平衡條件的內力解答是存在的，而且是唯一的。此基本特性派生了靜定結構的四條普遍性質。
4. 評價各種結構型式受力特性的乙個基本觀點
各種結構的受力特點已經作了對比，如何評價結構型式的合理性，要從受力特性、施工、經濟等方面綜合考慮，而從受力特性的角度看，乙個基本的觀點就是要設法「材盡其用」，儘量減少彎矩峰值，盡量接近無彎矩狀態這一理想境界。
§4-6 思考與討論
1. 如何才能避免聯合解平衡方程組？
2. 如何理解平衡方程無解和無窮多個解的概念？
3. 虛功原理中，位移的假設是否是任意的？
4. 利用虛功原理能否求解多個約束力？
5. 為什麼溫度的改變、支座移動和製造誤差等因素在靜定結構中不引起內力？
6. 為什麼當靜定結構的乙個內部幾何不變部分上的荷載作等效變換時，其餘部分的內力不變？
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